Tính số thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 5 lít tối đa mà một công ty sản xuất được biết rằng chi phí để làm mặt xung quanh của thùng đó là 100.000 đ/m2 chi phí để làm mặt đáy là 120.000 đ/m2 chi phí đầu tư 1 tỉ đồng

Gọi R là bán kính đường tròn đáy có  \(V = \pi {R^2}h = {5.10^{ - 3}} \Rightarrow h = \frac{{{{5.10}^{ - 3}}}}{{\pi {R^2}}}\)

Số tiền làm mặt xung quanh là:  \({10^5}.{S_{xq}} = {10^5}.2\pi Rh = \frac{{{{10}^3}}}{R}.\)

Số tiền làm hai mặt đáy là: \(2\pi {R^2}{.12.10^4}.\) 

Số tiền làm một hộp là: \(T = \frac{{{{10}^3}}}{R} + {24.10^4}.\pi .{R^2}\) 

Ta có: \(T' = - \frac{{{{10}^3}}}{{{R^2}}} + {48.10^4}\pi R = 0 \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{1}{{480\pi }}}}\) 

Dễ thấy T đạt giá trị nhỏ nhất khi \(R = \sqrt[3]{{\frac{1}{{480\pi }}}}\) 

Vậy chi phí thấp nhất để sản xuất 1 thùng là: \({T_{\min }} = 3\sqrt[3]{{\frac{3}{{3200{\pi ^2}}}}}.\) 

Khi đó số thùng tối đá sản suất được là:\(n = \frac{{1.000.000}}{{{T_{\min }}}} = 58135\) thùng.