Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số phức \(z\) sao cho số phức \(w=\dfrac{1}{|z|-z}\) có phần thực bằng \(\dfrac{1}{8}\). Xét các số phức \(z_1, z_2 \in S\) thỏa mãn \(\left|z_1-z_2\right|=2\), giá trị lớn nhất của \(P=\left|z_1-5 i\right|^2-\left|z_2-5 i\right|^2\) bằng

Giả sử z=x+y i, với \(x, y \in \mathbb{R}\) và điều kiện \(|z|-z \neq 0 \Leftrightarrow\begin{cases}m \leq 0 \\ -10<m<6\end{cases}\).

Ta có: \(w=\dfrac{1}{|z|-z}=\dfrac{1}{\left(\sqrt{x^2+y^2}-x\right)+y i}=\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}-x\right)^2-y^2}+\dfrac{y}{\left(\sqrt{x^2+y^2}-x\right)^2+y^2} i\).

Theo giả thiết, ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}}  - x}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}}  - x} \right)}^2} + {y^2}}} = \frac{1}{8}\\
 \Leftrightarrow 8\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}}  - x} \right) = 2{x^2} + 2{y^2} - 2x\sqrt {{x^2} + {y^2}} \\
 \Leftrightarrow 4\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}}  - x} \right) = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}}  - x} \right)\\
 \Leftrightarrow \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}}  - x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}}  - 4} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 4 \vee \sqrt {{x^2} + {y^2}}  - x = 0
\end{array}\)

TH1: \(\sqrt {{x^2} + {y^2}}  - x = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 0\\
y = 0
\end{array} \right.\)

TH2: \(\sqrt{x^2+y^2}=4 \Leftrightarrow x^2+y^2=16\).

Gọi \(z_1=x_1+y_1 i; z_2=x_2+y_2 i \Rightarrow x_1^2+y_1^2=16; x_2^2+y_2^2=16\).

Ta có: \(\left|z_1-z_2\right|=2 \Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=4\).

Xét \(P=\left|z_1-5 i\right|^2-\left|z_2-5 i\right|^2=x_1^2+\left(y_1-5\right)^2-x_2^2-\left(y_2-5\right)^2=-10\left(y_1-y_2\right)\) \(\Rightarrow P \leq 10\left|y_1-y_2\right|=10 \sqrt{4-\left(x_1-x_2\right)^2} \leq 20\).

Dấu ” = “xảy ra khi và chỉ khi \(x_1=x_2\) và \(\left|y_1-y_2\right|=2\).

Kết luận: Giá trị lớn nhất của \(P=20\).