Cho hàm số \(f(x)=3 x^4+a x^3+b x^2+c x+d(a, b, c, d \in \mathbb{R})\) có ba điểm cực trị là \(-2,-1\) và 1. Gọi \(y=g(x)\) là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=f(x)\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y=f(x)\) và \(y=g(x)\) bằng

Ta có: \(f'(x)=12 x^3+3 a x^2+2 b x+c\). Theo bài ra, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \le 0}\\
{ - 10 < m < 6}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \le 0}\\
{ - 10 < m < 6}
\end{array}} \right.. \Rightarrow f(x) = 3{x^4} + 8{x^3} - 6{x^2} - 24x + d\)

Giả sử \(y=g(x)=a x^2+b x+c\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{g( - 2) = 8 + d}\\
{g( - 1) = 13 + d}\\
{g(1) =  - 19 + d}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{4a - 2b + c = 8 + d}\\
{a - b + c =  - 19 + d}\\
{a + b + c =  - 19 + d}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a =  - 7}\\
{b =  - 16}\\
{c + 4 + d}
\end{array}} \right.\\
 \Rightarrow y =  - 7{x^2} - 16x + 4 + d
\end{array}\)

Xét \(f(x)-g(x)=0 \Leftrightarrow 3x^4+8 x^3+x^2-8 x-4=0\Leftrightarrow x=1;x=-\dfrac{2}{3};x=-1;x=-2 \).

Diện tích hình phẳng cần tìm là \(S=\int_{-2}^1|f(x)-g(x)| d x=\displaystyle\int_{-2}^1\left|3 x^4+8 x^3+x^2-8 x-4\right| d x\) \(=\displaystyle\int_{-2}^{-1}\left|3 x^4+8 x^3+x^2-8 x-4\right| {\rm d} x+\displaystyle\int_{-1}^{-\frac{2}{3}}\left|3 x^4+8 x^3+x^2-8 x-4\right| {\rm d} x+\displaystyle\int_{-\frac{2}{3}}^1\left|3 x^4+8 x^3+x^2-8 x-4\right| {\rm d} x=\dfrac{2948}{405}\)

Kết luận: \(S=\dfrac{2948}{405}\).