Giải bất phương trình {log_(x^2-4)}(x+2)>=0

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > - 2(*)\\ x \ne \sqrt 5 \end{array} \right..\) Xét hai trường hợp:

TH1. Với \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2 > 0\\ {x^2} - 4 > 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 2\\ {x^2} > 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > \sqrt 5 \,(1).\) Khi đó:

Bất phương trình: \({\log _{{x^2} - 4}}(x + 2) \ge 0 \Leftrightarrow x + 2 \ge 1 \Leftrightarrow x \ge - 1\)  

Kết hớp (*) và (1) suy ra: \(x \in \left( {\sqrt 5 ; + \infty } \right)\) 

TH2. Với \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2 > 0\\ 0 < {x^2} - 4 < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 2\\ {x^2} < 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( {2;\sqrt 5 } \right)\,(2).\) Khi đó:

Bất phương trình: \({\log _{{x^2} - 4}}(x + 2) \ge 0 \Leftrightarrow x \le - 1\)  

Kết hợp (*) và (2) suy ra: \(x \in \emptyset .\)  

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {\sqrt 5 ; + \infty } \right)\)