Giải bất phương trình {log_3(x^2-1)+{log_1/3}(x+1)>1000

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 1 > 0}\\ {x + 1 > 0} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ \begin{array}{l} (x - 1)(x + 1) > 0\\ x + 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\)  (*).

Khi đó \({\log _3}({x^2} - 1) + {\log _{\frac{1}{3}}}(x + 1) > 1000 \Leftrightarrow {\log _3}({x^2} - 1) - {\log _3}(x + 1) > 1000\)  

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} > 1000 \Leftrightarrow {\log _3}(x - 1) > 1000\\ \Leftrightarrow x - 1 > {3^{1000}} \Leftrightarrow x > 1 + {3^{1000}} \end{array}\)

Kết hợp với (*) ta được \(x > 1 + {3^{1000}}\) thỏa mãn, từ đó A là đáp án đúng vì:

\({9^{500}} = {\left( {{3^2}} \right)^{500}} = {3^{2.500}} = {3^{1000}}\)