Giả sử tích phân I=1 đến 2 (4lnx+1)/x với a, b là các số hữu tỉ

\(I = \int_1^2 {\frac{{4\ln x + 1}}{x}} dx = \int_1^2 {\frac{{4\ln x}}{x}} dx + \int_1^2 {\frac{1}{x}} dx = \int_1^2 {\frac{{4\ln x}}{x}} dx + \left. {\ln x} \right|_1^2\)

Tính: \(\int_1^2 {\frac{{4\ln x}}{x}} dx\) 

Đặt: \(u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx.\) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow u = 0\\ x = 2 \Rightarrow u = \ln 2 \end{array} \right.\) 

\(\int_1^2 {\frac{{4\ln x}}{x}} dx = 4\int\limits_0^{\ln 2} {udu} = \left. {2{u^2}} \right|_0^{\ln 2} = 2{\ln ^2}2\)

Vậy: \(I = 2{\ln ^2}2 + \ln 2.\) 

Suy ra \(a = 2;b = 1.\)

Nên \(4a + b = 9.\)