Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\in \left[ -20;20 \right]\) để tồn tại các số thực x, y thỏa mãn đồng thời \({{e}^{3x+5y-10}}-{{e}^{x+3y-9}}=1-2x-2y\) và \(\log _{5}^{2}\left( 3x+2y+4 \right)-\left( m+6 \right){{\log }_{2}}\left( x+5 \right)+{{m}^{2}}+9=0\).

Ta có \({{e}^{3x+5y-10}}-{{e}^{x+3y-9}}=1-2x-2y\)

\(\Leftrightarrow {{e}^{3x+5y-10}}-{{e}^{x+3y-9}}=\left( x+3y-9 \right)-\left( 3x+5y-10 \right)\)

\(\Leftrightarrow {{e}^{3x+5y-10}}+3x+5y-10={{e}^{x+3y-9}}+x+3y-9\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{e}^{t}}+t,\text{ }t\in R.\).

Ta có: \({f}'\left( t \right)={{e}^{t}}+1>0,\text{ }\forall t\in R.\) Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) luôn đồng biến trên R.

\(\Rightarrow 3x+5y-10=x+3y-9\Leftrightarrow 2y=1-2x\).

Thay vào phương trình thứ 2, ta được

\(\begin{align} & \log _{5}^{2}\left( 3x+2y+4 \right)-\left( m+6 \right){{\log }_{2}}\left( x+5 \right)+{{m}^{2}}+9=0 \\ & \Leftrightarrow \log _{5}^{2}\left( x+5 \right)-\left( m+6 \right){{\log }_{2}}\left( x+5 \right)+{{m}^{2}}+9=0 \\ & \Leftrightarrow \,\log _{5}^{2}\left( x+5 \right)-\left( m+6 \right){{\log }_{2}}5.{{\log }_{5}}\left( x+5 \right)+{{m}^{2}}+9=0\,\left( 1 \right). \\ \end{align}\)

Đặt \({{\log }_{5}}\left( x+5 \right)=t\text{ }\left( t\in R,\text{ }x>-5 \right)\). Khi đó phương trình (1) trở thành

\({{t}^{2}}-{{\log }_{2}}5.\left( m+6 \right)t+{{m}^{2}}+9=0\) (2).

Tồn tại x, y thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm nên \(\Delta ={{\left( m+6 \right)}^{2}}.\log _{2}^{2}5-4\left( {{m}^{2}}+9 \right)\ge 0 \Leftrightarrow \left( \log _{2}^{2}5-4 \right){{m}^{2}}+12.\log _{2}^{2}5.m-36\left( 1-\log _{2}^{2}5 \right)\ge 0\).

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m\le {{m}_{1}} \\ & m\ge {{m}_{2}} \\ \end{align} \right.\) với \({{m}_{1}}\approx -43.91\) và \({{m}_{2}}\approx -2.58\)

Do \(m\in \left[ -20;20 \right]\) và \(m\in Z\) nên \(m\in \left\{ -2;-1;0;...;19;20 \right\}\).

Vậy có 23 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.