-
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( \frac{\pi }{2} \right)=0\) và \({f}'\left( x \right)=\sin x.{{\sin }^{2}}2x,\forall x\in R\). Khi đó \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
- A. \(\frac{{104}}{{225}}\)
- B. \(-\frac{{104}}{{225}}\)
- C. \(\frac{{121}}{{225}}\)
- D. \(\frac{{167}}{{225}}\)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: B
Ta có \({f}'\left( x \right)=\sin x.{{\sin }^{2}}2x,\forall x\in R\) nên \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \({f}'\left( x \right)\).
Có \(\int{{f}'\left( x \right)\text{d}x}=\int{\sin x.{{\sin }^{2}}2x\text{d}x}=\int{\sin x.\frac{1-\cos 4x}{2}\text{d}x}=\int{\frac{\sin x}{2}\text{d}x-\int{\frac{\sin x.\cos 4x}{2}\text{d}x}}\)
\(=\frac{1}{2}\int{\sin x}\text{d}x-\frac{1}{4}\int{\left( \sin 5x-\sin 3x \right)\text{d}x=-\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{20}\cos 5x-\frac{1}{12}\cos 3x+C}\).
Suy ra \(f\left( x \right)=-\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{20}\cos 5x-\frac{1}{12}\cos 3x+C,\forall x\in \mathbb{R}$. Mà \(f\left( \frac{\pi }{2} \right)=0\Rightarrow C=0\).
Do đó \(f\left( x \right)=-\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{20}\cos 5x-\frac{1}{12}\cos 3x,\forall x\in R\). Khi đó:
\(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( -\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{20}\cos 5x-\frac{1}{12}\cos 3x \right)\text{d}x}=\left. \left( -\frac{1}{2}\sin x+\frac{1}{100}\sin 5x-\frac{1}{36}\sin 3x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=-\frac{104}{225}\).
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
YOMEDIA
Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng
CÂU HỎI KHÁC
- Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa giống nhau vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông)?
- Cho cấp số cộng (un) có u1 = 11 và công sai d = 4. Hãy tính u99.
- Nghiệm của phương trình \({2^{x - 1}} = \frac{1}{{16}}\) có nghiệm là
- Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 2 và độ dài chiều cao bằng 3.
- Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _3}\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\)
- Một nguyên hàm của hs \(f(x) = {(x + 1)^3}\) là
- Thể tích của khối chóp có diện tích mặt đáy bằng B, chiều cao bằng h được tính bởi công thức
- Thể tích khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là
- Diện tích S của mặt cầu có bán kính đáy 3 bằng
- Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:Hs đã cho đồng biến trên khoảg nào dưới đây?
- Với a, b là số thực tùy ý khác 0, ta có \({{\log }_{2}}\left( ab \right)\) bằng:
- Hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a thì có diện tích toàn phần bằng
- Cho hàm số f(x) có bảg biến thiên như sau:Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạg như đường cong trong hình bên?
- Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {x + 1} \right) < {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x - 5} \right)\) là
- Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
- Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình bên dưới. Số nghiệm của phương trình \(2f\left( x \right) + 5 = 0\) là:
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ 0;3 \right]\) và \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=1\], \[\int\limits_{2}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=4\). Tính \(I=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}\).
- Số phức liên hợp của số phức \(z = 4 - \sqrt 5 i\)
- Cho hai số phức \({{z}_{1}}=1+2i\) và \({{z}_{2}}=3-4i\). Điểm biểu diễn của số phức \(w={{z}_{1}}+{{z}_{2}}\) trong mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm nào trong các điểm sau?
- Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức z = 2 + 2i là điểm nào dưới đây?
- Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( -4;\,3;\,1 \right)\) trên mặt phẳng \(\left( Oyz \right)\) có tọa độ là
- Trong không gian Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm I(1,1,-2), tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oxz). Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là:
- Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x-2y+z-1=0\). Điểm nào dưới đây thuộc \(\left( P \right)\)?
- Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng . Véc tơ nào dưới đây là véc tơ chỉ phương của d?
- Cho hình chóp \(S.ABC\text{D}\) có đáy là hình thoi cạnh a, góc ABC bằng \({{60}^{0}}\). SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\), \(SA=\frac{a\sqrt{3}}{3}\) (minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên R, có \({f}'\left( x \right)={{\left( x+2 \right)}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{3}}\left( -x+5 \right)\). Số điểm cực trị của hàm số \(y=f\left( x \right)\) là:
- Biết \(f'(x)={{x}^{2}}\left( x-1 \right)\left( x-2 \right){{\left( x+1 \right)}^{2}},\forall x\in R\). Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [-1;2] bằng
- Cho các số thực dương a và b thỏa mãn \({{\log }_{b}}a\sqrt{b}={{\log }_{\frac{\sqrt{a}}{b}}}\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}\) và \({{\log }_{b}}a>0\). Tính \(m={{\log }_{b}}a\)
- Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) và đường thẳng y = 2 là
- Giả sử S = (a;b) là tập nghiệm của bất phương trình \({4^x} - {3.2^{x + 1}} + 8 < 0\). Giá trị biểu thức P = a + 2b.
- Cho tam giác ABC vuông tại A, trong đó AB=a, BC=2a. Quay tam giác ABC quanh trục AB ta được một hình nón có thể tích là
- Xét \(\int\limits_{0}^{1}{(x-1).{{e}^{{{x}^{2}}-2x+3}}dx}\), nếu đặt \(u={{x}^{2}}-2x+3\) thì \(\int\limits_{0}^{1}{(x-1).{{e}^{{{x}^{2}}-2x+3}}dx}\) bằng:
- Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y=-{{x}^{2}}-x+1,\,\,y=2, x=-1, x=1\) được tính bởi công thức nào dưới đây?
- Cho hai số phức \({z_1} = 2 - 4i\) và \({z_2} = 1 - 3i.\) Phần ảo của số pức \({z_1} + i\overline {{z_2}} \)
- Kí hiệu \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + z\sqrt 2 + 5 = 0\). Tính \(M = \frac{1}{{{z_1}}} + \frac{1}{{{z_2}}}\).
- Trong không gian Oxyz, cho điểm K(1;-2;1). Mặt phẳng (P) đi qua K và vuông góc với trục Oy có phương trình là
- Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( 1;0;1 \right)\) và \(N\left( 3;2;-1 \right)\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của N lên trục Oz. Đường thẳng MH có phương trình tham số là
- Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngag.
- Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AC=4a. SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của AB. Tính AB biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng \(\frac{2a}{3}\).
- Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-2m-3 \right)x+{{m}^{2}}+m\) nghịch biến trên \(\left( -1;1 \right)\).
- Dân số thế giới được dự đoán theo công thức \(S=A.{{\text{e}}^{Nr}}\) (trong đó A: là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r à tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Theo số liệu thực tế, dân số thế giới năm 1950 là 2560 triệu người; dân số thế giới năm 1980 là 3040 triệu người. Hãy dự đoán dân số thế giới năm 2020?
- Cho hàm số \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- Khi cắt khối trụ \(\left( T \right)\) bởi một mặt phẳng song sog với trục và cách trục của trụ \(\left( T \right)\) một k
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( \frac{\pi }{2} \right)=0\) và \({f}'\left( x \right)=\sin x.{{\sin }^{2}}2x,\forall x\in R\). Khi đó \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ 0;\frac{5\pi }{2} \right]\) của phương trình \(f\left( \left| \sin x \right| \right)=2\) là
- Cho hai số thực a>1,b>1. Biết phương trình \({{a}^{x}}{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S={{\left( \frac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-4\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\).
- Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{x-m}{x-2}\) (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m nguyên thuộc \(\left[ -10;10 \right]\) sao cho \(\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }}\,\left| f\left( x \right) \right|+\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }}\,\left| f\left( x \right) \right|>2\). Số phần tử của S là
- Cho hình lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\). Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh \(A{A}', B{B}', C{C}'sao cho \(AM=2M{A}', N{B}'=2NB, PC=P{C}'\). Gọi \({{V}_{1}}, {{V}_{2}}\) lần lượt là thể tích của hai khối đa diện ABCMNP và \({A}'{B}'{C}'MNP\). Tính tỉ số \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}\).
- Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\in \left[ -20;20 \right]\) để tồn tại các số thực x, y thỏa mãn đồng thời \({{e}^{3x+5y-10}}-{{e}^{x+3y-9}}=1-2x-2y\) và \(\log _{5}^{2}\left( 3x+2y+4 \right)-\left( m+6 \right){{\log }_{2}}\left( x+5 \right)+{{m}^{2}}+9=0\).
