YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z+1 \right|=\sqrt{3}\). Tìm giá trị lớn nhất của \(T=\left| z+4-i \right|+\left| z-2+i \right|\).

    • A. \(2\sqrt {13} \)
    • B. \(2\sqrt {46} \)
    • C. \(2\sqrt {26} \)
    • D. \(2\sqrt {23} \)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: A

    Gọi \(z=x+yi,\,\,\left( x,\,y\in \mathbb{R} \right)\)

    Ta có, số phức z thỏa mãn \(\left| z+1 \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=3\)

    Suy ra, tập hợp tất cả các số phức thỏa mãn thỏa mãn \(\left| z+1 \right|=\sqrt{3}\) là một đường tròn có tâm \(I\left( -1\,;\,0 \right)\) và bán kính \(r=\sqrt{3}\).

    Gọi \(M\left( x\,;\,y \right)\in C\left( I,\sqrt{3} \right)\)

    \(\Rightarrow T=\left| z+4-i \right|+\left| z-2+i \right|\)

    \(=M{{I}_{1}}+M{{I}_{2}}=\sqrt{{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}\), với \({{I}_{1}}\left( -4\,;\,1 \right),\,\,{{I}_{2}}\left( 2\,;\,-1 \right)\)

    Ta có, \(\overrightarrow{I{{I}_{1}}}=\left( -3\,;\,1 \right),\,\overrightarrow{I{{I}_{2}}}=\left( 3\,;\,-1 \right)\). Suy ra \(\overrightarrow{I{{I}_{1}}},\,\,\overrightarrow{I{{I}_{2}}}\) cùng phương và 3 điểm \(I,\,\,{{I}_{1}},\,\,{{I}_{2}}\) thẳng hàng.

    Ta lại có, I là trung điểm của \({{I}_{1}},\,\,{{I}_{2}}\) và \(\left| \overrightarrow{I{{I}_{1}}} \right|=\sqrt{10}>r,\,\,\left| \overrightarrow{I{{I}_{2}}} \right|=\sqrt{10}>r\). Suy ra các điểm \({{I}_{1}},\,\,{{I}_{2}}\) nằm ngoài đường tròn \(C\left( I,\sqrt{3} \right)\)

    Ta có, hình biểu diễn tập hợp các điểm M.

    Mặt khác: \(M{{I}_{1}}^{2}+M{{I}_{2}}^{2}=2M{{I}^{2}}+\frac{{{I}_{1}}{{I}_{2}}^{2}}{2}=2.3+20=26\), với \(\left| \overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}} \right|=\sqrt{26},\,\,\,\,\,\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\left( 6\,;-2 \right)\)

    Ta có, \(T=M{{I}_{1}}+M{{I}_{2}}\le \sqrt{2\left( M{{I}_{1}}^{2}+M{{I}_{2}}^{2} \right)}\Rightarrow T=M{{I}_{1}}+M{{I}_{2}}\le 2\sqrt{13}\)

    Vậy, giá trị lớn nhất của \(T=\left| z+4-i \right|+\left| z-2+i \right|\) bằng \(2\sqrt{13}\) khi và chỉ khi \(M{{I}_{1}}=M{{I}_{2}}\Rightarrow \Delta M{{I}_{1}}{{I}_{2}}\) cân tại M.

    ATNETWORK

Mã câu hỏi: 270405

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AANETWORK
 

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON