Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f\prime \left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{4}}{{\left( x-m \right)}^{5}}{{\left( x+3 \right)}^{3}}\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \({m \in [ - 5 ; 5 ]}\) để hàm số \(g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)\) có 3 điểm cực trị?

Do hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm với mọi \(x\in \mathbb{R}\) nên \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), do đó hàm số \(g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Suy ra \(g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)\) là một số hữu hạn.

Xét trên khoảng \(\left( 0;+\infty\right): g\left( x \right)=f\left( x \right)\)

\(g\prime \left( x \right)=f\prime \left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{4}}{{\left( x-m \right)}^{5}}{{\left( x+3 \right)}^{3}}\)

\(g\prime \left( x \right)=0 \Leftrightarrow {{\left( x-m \right)}^{5}}=0 \Leftrightarrow x=m\)

- TH1: m=0 thì x=0. Khi đó x=0 là nghiệm bội lẻ của \(g\prime \left( x \right)\) nên \(g\prime \left( x \right)\) đổi dấu một lần qua x=0 suy ra hàm số \(g\left( x \right)\) có duy nhất một điểm cực trị là x=0.

- TH2: m<0 thì \(g\prime \left( x \right)\) vô nghiệm, suy ra \(g\prime \left( x \right)>0\) với mọi x>0

Hàm số \(y=g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \( \left( 0;+\infty\right)\).

Cả hai trường hợp trên đều có: hàm số \(g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)\) có duy nhất một điểm cực trị là x=0.

- TH 3: m>0 thì x=m là nghiệm bội lẻ của \(g\prime \left( x \right)\)

Bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)\):

- Lại có \({m \in [ - 5 ; 5 ]}\) và m nguyên nên \(m\in \left\{ 1,2,3,4,5 \right\}\).

Vậy có 5 giá trị nguyên của m.