-
Câu hỏi:
Cho phương trình \({{\rm{x}}^{\rm{2}}} + {\rm{mx}} + {\rm{m}} - {\rm{2}} = {\rm{0}}\) với m là tham số và x là ẩn số
a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để:
\(\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{1}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}} - {\rm{1}}} \right)\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}} - {\rm{1}}} \right)\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{1}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}} + {\rm{1}}} \right)\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}} + {\rm{1}}} \right) = {\rm{1}}\)
Lời giải tham khảo:
a) Phương trình có a = 1, b = m, c = m -2
Xét \({\rm{\Delta }} = {{\rm{b}}^{\rm{2}}} - {\rm{4ac}} = {{\rm{m}}^{\rm{2}}} - {\rm{4}}{\rm{.1}}{\rm{.}}\left( {{\rm{m}} - {\rm{2}}} \right) = {{\rm{m}}^{\rm{2}}} - {\rm{4m}} + {\rm{8}} = \left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}} - {\rm{4m}} + {\rm{4}}} \right) + {\rm{4}} = {\left( {{\rm{m}} - {\rm{2}}} \right)^{\rm{2}}} + {\rm{4}}\)
Với mọi m, ta có: \({\left( {{\rm{m}} - {\rm{2}}} \right)^{\rm{2}}} \ge {\rm{0}} \Rightarrow {\left( {{\rm{m}} - {\rm{2}}} \right)^{\rm{2}}} + {\rm{4}} \ge {\rm{4}} > {\rm{0}}\)
Vì \(\Delta > 0\) với mọi m nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Theo câu a, \(\Delta > 0\) với mọi m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa hệ thức Vi-ét: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\rm{x}}_{\rm{1}}} + {{\rm{x}}_{\rm{2}}} = \frac{{ - {\rm{b}}}}{{\rm{a}}} = \frac{{ - {\rm{m}}}}{{\rm{1}}} = - {\rm{m}}}\\
{{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}} = \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} = \frac{{{\rm{m}} - {\rm{2}}}}{{\rm{1}}} = {\rm{m}} - {\rm{2 }}}
\end{array}} \right.\)Ta có: \(\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{1}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}} - {\rm{1}}} \right)\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}} - {\rm{1}}} \right)\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{1}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}} + {\rm{1}}} \right)\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}} + {\rm{1}}} \right) = {\rm{1}}\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{1}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}} - {\rm{1}}} \right)\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{1}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}} + {\rm{1}}} \right)\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}} - {\rm{1}}} \right)\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}} + {\rm{1}}} \right) = {\rm{1}}\\
\Leftrightarrow \left( {{\rm{x}}_{\rm{1}}^{\rm{2}} + {\rm{1}} - {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} + {\rm{1}} - {\rm{1}}} \right) = {\rm{1}}\\
\Leftrightarrow {\rm{x}}_{\rm{1}}^{\rm{2}}{\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} = {\rm{1}}\\
\Leftrightarrow {\left( {{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}} \right)^{\rm{2}}} - {\rm{1}} = {\rm{0}}
\end{array}\)\( \Leftrightarrow {\left( {{\rm{m}} - {\rm{2}}} \right)^{\rm{2}}} - {\rm{1}} = {\rm{0}}\) (do hệ thức Viet)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {{\rm{m}} - {\rm{2}} + {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{m}} - {\rm{2}} - {\rm{1}}} \right) = {\rm{0}}\\
\Leftrightarrow \left( {{\rm{m}} - {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{m}} - {\rm{3}}} \right) = {\rm{0}}
\end{array}\)\( \Leftrightarrow {\rm{m}} - {\rm{1}} = {\rm{0}}\) hoặc m - 3 = 0
\( \Leftrightarrow {\rm{m}} = {\rm{1}}\) hoặc m = 3
Vậy m = 1 hoặc m = 3 là các giá trị cần tìm.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng
CÂU HỎI KHÁC
- Cho hàm số \(\left( {\rm{P}} \right){\rm{:y}} = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}\) và \(\left( {\rm{D}} \right){\rm{:y}} = \frac{
- Cho phương trình \({{\rm{x}}^{\rm{2}}} + {\rm{mx}} + {\rm{m}} - {\rm{2}} = {\rm{0}}\) với m là tham số và x là ẩn sốa) Chứng t�
- Bạn An mỗi ngày đi học từ nhà đến trường trung bình mất 20 phút.
- Sau những vụ va chạm giữa các xe trên đường, cảnh sát thường sử dụng công thức dưới đây để ước lượng tốc đ
- Một nền nhà hình chữ nhật có kích thước 4m và 12m.
- Một cây cộc cắm thẳng đứng xuống đáy hồ sâu 1,5m. Phần cộc nhô lên khỏi mặt nước là 0,5m.
- Số liệu của Tổng cục Hải quan báo cáo Bộ Tài chính cho thấy, trong tháng 01/2018, trị giá xuất khẩu ước đạt 19 tỷ
- Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AD. Vẽ tại E và tại F.