AMBIENT
  • Câu hỏi:

    Cho phương trình \({{\rm{x}}^{\rm{2}}} + {\rm{mx}} + {\rm{m}} - {\rm{2}} = {\rm{0}}\) với m là tham số và x là ẩn số

    a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

    b) Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để:

    \(\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{1}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}}  - {\rm{1}}} \right)\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}}  - {\rm{1}}} \right)\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{1}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}}  + {\rm{1}}} \right)\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}}  + {\rm{1}}} \right) = {\rm{1}}\)

    Lời giải tham khảo:

    a) Phương trình có a = 1, b = m, c = m -2 

    Xét \({\rm{\Delta }} = {{\rm{b}}^{\rm{2}}} - {\rm{4ac}} = {{\rm{m}}^{\rm{2}}} - {\rm{4}}{\rm{.1}}{\rm{.}}\left( {{\rm{m}} - {\rm{2}}} \right) = {{\rm{m}}^{\rm{2}}} - {\rm{4m}} + {\rm{8}} = \left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}} - {\rm{4m}} + {\rm{4}}} \right) + {\rm{4}} = {\left( {{\rm{m}} - {\rm{2}}} \right)^{\rm{2}}} + {\rm{4}}\)

    Với mọi m, ta có: \({\left( {{\rm{m}} - {\rm{2}}} \right)^{\rm{2}}} \ge {\rm{0}} \Rightarrow {\left( {{\rm{m}} - {\rm{2}}} \right)^{\rm{2}}} + {\rm{4}} \ge {\rm{4}} > {\rm{0}}\)

    Vì \(\Delta  > 0\) với mọi m nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m. 

    b) Theo câu a, \(\Delta  > 0\) với mọi m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa hệ thức Vi-ét: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {{{\rm{x}}_{\rm{1}}} + {{\rm{x}}_{\rm{2}}} = \frac{{ - {\rm{b}}}}{{\rm{a}}} = \frac{{ - {\rm{m}}}}{{\rm{1}}} =  - {\rm{m}}}\\
    {{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}} = \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} = \frac{{{\rm{m}} - {\rm{2}}}}{{\rm{1}}} = {\rm{m}} - {\rm{2 }}}
    \end{array}} \right.\)

    Ta có: \(\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{1}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}}  - {\rm{1}}} \right)\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}}  - {\rm{1}}} \right)\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{1}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}}  + {\rm{1}}} \right)\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}}  + {\rm{1}}} \right) = {\rm{1}}\)

    \(\begin{array}{l}
     \Leftrightarrow \left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{1}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}}  - {\rm{1}}} \right)\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{1}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}}  + {\rm{1}}} \right)\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}}  - {\rm{1}}} \right)\left( {\sqrt {{\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} + {\rm{1}}}  + {\rm{1}}} \right) = {\rm{1}}\\
     \Leftrightarrow \left( {{\rm{x}}_{\rm{1}}^{\rm{2}} + {\rm{1}} - {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} + {\rm{1}} - {\rm{1}}} \right) = {\rm{1}}\\
     \Leftrightarrow {\rm{x}}_{\rm{1}}^{\rm{2}}{\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} = {\rm{1}}\\
     \Leftrightarrow {\left( {{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}} \right)^{\rm{2}}} - {\rm{1}} = {\rm{0}}
    \end{array}\)

    \( \Leftrightarrow {\left( {{\rm{m}} - {\rm{2}}} \right)^{\rm{2}}} - {\rm{1}} = {\rm{0}}\) (do hệ thức Viet)

    \(\begin{array}{l}
     \Leftrightarrow \left( {{\rm{m}} - {\rm{2}} + {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{m}} - {\rm{2}} - {\rm{1}}} \right) = {\rm{0}}\\
     \Leftrightarrow \left( {{\rm{m}} - {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{m}} - {\rm{3}}} \right) = {\rm{0}}
    \end{array}\)

    \( \Leftrightarrow {\rm{m}} - {\rm{1}} = {\rm{0}}\) hoặc m - 3 = 0

    \( \Leftrightarrow {\rm{m}} = {\rm{1}}\) hoặc m = 3

    Vậy m = 1 hoặc m = 3 là các giá trị cần tìm. 

     

    ADSENSE

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AMBIENT
?>