Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AD. Vẽ  tại E và  tại F.

a) 

Xét tứ giác AEDF có:

 \({\rm{A\hat ED}} + {\rm{A\hat FD}} = {\rm{9}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}} + {\rm{9}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}} = {\rm{18}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}\) (vì DE \( \bot \) AC, DF\( \bot \) AB)

=> Tứ giác AEDF nội tiếp (tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180⁰)

            \( \Rightarrow {\rm{A\hat FE}} = {\rm{A\hat DE}}\) (cùng chắn cung AE của tứ giác AEDF nội tiếp) (1)

 Ta có: \({\rm{A\hat DE}} = {\rm{B\hat CE}}\) (cùng phụ \({\rm{D\hat AC}}\)) (2)

=>Tứ giác BCEF nội tiếp (tứ giác có góc trong bằng góc đối ngoài)

b)

Xét ∆MNB và ∆MCA có:

                        \({\rm{A\hat MC}}\): chung

                        \({\rm{M\hat NB}} = {\rm{M\hat CA}}\) (góc trong bằng góc đối ngoài của tứ giác ANBC nội tiếp đường tròn (O))

=> ∆MNB ∽ ∆MCA (g.g)

 \( \Rightarrow \frac{{{\rm{MN}}}}{{{\rm{MC}}}} = \frac{{{\rm{MB}}}}{{{\rm{MA}}}}\) (= tỉ số đồng dạng)

 \( \Rightarrow {\rm{MN}}{\rm{.MA}} = {\rm{MB}}{\rm{.MC}}\) (3)

Xét ∆MFB và ∆MCE có:

                        \({\rm{E\hat MC}}\): chung

                        \({\rm{M\hat FB}} = {\rm{M\hat CE}}\) (góc trong bằng góc đối ngoài của tứ giác BCEF nội tiếp)

=> ∆MFB ∽ ∆MCE (g.g)

 \( \Rightarrow \frac{{{\rm{MF}}}}{{{\rm{MC}}}} = \frac{{{\rm{MB}}}}{{{\rm{ME}}}}\) (= tỉ số đồng dạng)

   \( \Rightarrow {\rm{MF}}{\rm{.ME}} = {\rm{MB}}{\rm{.MC}}\) (4)

=>Từ (3) và (4) \( \Rightarrow {\rm{MN}}{\rm{.MA}} = {\rm{MF}}{\rm{.ME}}\,\,\left( { = {\rm{MB}}{\rm{.MC}}} \right)\) 

c)