AMBIENT
  • Câu hỏi:

    Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}(a \ne 0)\) có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(0 \le {x_1} \le {x_2} \le 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(L = \frac{{3{a^2} - ab + ac}}{{5{a^2} - 3ab + {b^2}}}\).

    Lời giải tham khảo:

    Vì x1, x2 là hai nghiệm của PT \(a{x^2} + bx + c = 0\) nên áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

    \(\left\{ \begin{array}{l}
    {x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\
    {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}
    \end{array} \right.\)

    Vì \(a \ne 0\) nên:

    \(\begin{array}{l}
    L = \frac{{3{a^2} - ab + ac}}{{5{a^2} - 3ab + {b^2}}} = \frac{{3 - \frac{b}{a} + \frac{c}{a}}}{{5 - 3 \cdot \frac{b}{a} + {{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2}}} = \frac{{3 + {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2}}}{{5 + 3{x_1} + 3{x_2} + {{({x_1} + {x_2})}^2}}}\\
    {\rm{  }} = \frac{{3 + {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2}}}{{5 + 3{x_1} + 3{x_2} + x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2}}
    \end{array}\)

    Vì \(0 \le {x_1} \le {x_2} \le 2\)

    \( \Rightarrow x_1^2 \le 2{x_1}{\rm{ , }}x_2^2 \le 2{x_2}{\rm{ , }}(2 - {x_1})(2 - {x_2}) \ge 0{\rm{ , }}3 + {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2}\)

    \(\begin{array}{l}
     \Rightarrow 5 + 3{x_1} + 3{x_2} + x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2\\
     \le 5 + 5{x_1} + 5{x_2} + 2{x_1}{x_2}\\
     = 3(3 + {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2}) - (4 - 2{x_1} - 2{x_2} + {x_1}{x_2})\\
     = 3(3 + {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2}) - (2 - {x_1})(2 - {x_2})\\
     \le 3(3 + {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2})
    \end{array}\)

    \(L \ge \frac{{3 + {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2}}}{{3(3 + {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2})}} = \frac{1}{3}\)

    Dấu “=” xảy ra

    \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x_1^2 = 2{x_1}\\
    x_2^2 = 2{x_2}\\
    (2 - {x_1})(2 - {x_2}) = 0
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    {x_1} = 0;{x_2} = 2\\
    {x_1} = {x_2} = 2
    \end{array} \right.\)

    Vậy \(\min L = \frac{1}{3}\) khi \(\left[ \begin{array}{l}
    {x_1} = 0;{x_2} = 2\\
    {x_1} = {x_2} = 2
    \end{array} \right.\)

    ADSENSE

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AMBIENT
?>