1) Quãng đường Hải Dương – Hạ Long dài 100km. 100km. Một ô tô đi từ Hải Dương đến Hạ Long rồi nghỉ ở đó 8 giờ 20 phút, sau đó trở về Hải Dương hết tất cả 12 giờ. Tính vận tốc của ô tô lúc đi, biết vận tốc ô tô lúc về nhanh hơn vận tốc ô tô lúc đi 10km/h.

1) Đổi 8 giờ 20 phút = \(8\frac{1}{3}\) giờ.

Gọi vận tốc của ô tô lúc đi là x (km/h). Điều kiện: x > 0.

\( \Rightarrow \) Vận tốc của ô tô lúc về là x + 10 (km/h).

Thời gian của ô tô lúc đi là \(\frac{{100}}{x}\) (h)

Thời gian của ô tô lúc về là \(\frac{{100}}{{x + 10}}\) (h).

Tổng thời gian đi và về (không tính thời gian nghỉ) là:

     \(12 - 8\frac{1}{3} = \frac{{11}}{3}\) (h)

Ta có phương trình: \(\frac{{100}}{x} + \frac{{100}}{{x + 10}} = \frac{{11}}{3}\)

                            \( \Leftrightarrow 11{x^2} - 490x - 3000 = 0\)

Giải phương trình được: \({x_1} = 50;{x_2} =  - \frac{{60}}{{11}}\)

Kết hợp với điều kiện \( \Rightarrow x = 50\)

Vậy vận tốc của ô tô lúc đi là 50 km/h.

2) \(\Delta ' = {m^2} - {m^2} + 2 = 2 > 0{\rm{ }}\forall m\)

\( \Rightarrow \) Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m\\
{x_1}{x_2} = {m^2} - 2
\end{array} \right.\)

Xét \({({x_1} - {x_2})^2} = {({x_1} + {x_2})^2} - 4{x_1}{x_2} = {(2m)^2} - 4({m^2} - 2) = 8\)

\( \Rightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\sqrt 2 \)

Theo đề bài:

\(\begin{array}{l}
{\rm{    }}\left| {x_1^3 - x_2^3} \right| = 10\sqrt 2 \\
 \Leftrightarrow \left| {({x_1} - {x_2})(x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2)} \right| = 10\sqrt 2 
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right|.\left| {{{({x_1} + {x_2})}^2} - {x_1}{x_2}} \right| = 10\sqrt 2 \\
 \Leftrightarrow 2\sqrt 2 .\left| {{{(2m)}^2} - {m^2} + 2} \right| = 10\sqrt 2 \\
 \Leftrightarrow 3{m^2} + 2 = 5\\
 \Leftrightarrow {m^2} = 1\\
 \Leftrightarrow m =  \pm 1
\end{array}\)