AMBIENT
  • Câu hỏi:

    Cho \(\Delta ABC\) nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC. Kẻ \(AH\bot BC\) (H thuộc BC), gọi  M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC.

    1) Chứng minh \(A{C^2} = CH.CB\).

    2) Chứng minh tứ giác BCNM nội tiếp và \(AC.BM + AB.CN = AH.BC\).

    3) Đường thẳng đi qua A cắt tia HM tại E và cắt tia đối của NH tại F. Chứng minh BE // CF.

    Lời giải tham khảo:

    1) Vì \(\widehat {BAC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {BAC} = {90^0}\).

    \(\Delta ABC\) vuông tại A, đường cao AH. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

        AC2 = CH.CB

    2) Tứ giác AMHN có \(\widehat {MAN} = \widehat {AMH} = \widehat {ANH} = {90^0}\) (GT)

    \( \Rightarrow\) AMHN là hình chữ nhật

    \( \Rightarrow\) AMHN là tứ giác nội tiếp

    \( \Rightarrow {\widehat M_1} = {\widehat H_1}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AN của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN)

    Mà \({\widehat H_1} = {\widehat C_1}\) (cùng phụ với \({\widehat H_2}\))

    \( \Rightarrow {\widehat M_1} = {\widehat C_1}\)

    Tứ giác BCNM có \({\widehat M_1} = {\widehat C_1}\) nên BCNM là tứ giác nội tiếp.

    Ta có:

    \(\begin{array}{l}
    {\rm{   }}AC.BM + AB.CN\\
     = AC.(AB - AM) + AB.(AC - AN)\\
     = 2AB.AC - (AC.AM + AB.AN)\\
     = 2AB.AC - (AC.HN + AB.HM)
    \end{array}\)

    (vì AM = HN và AN = HM, do AMHN là hình chữ nhật)

    Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

    \(AB.AC = AH.BC{\rm{ , }}AC.HN = AH.HC{\rm{ , }}AB.HM = AH.HB\)

    Do đó:

    \(\begin{array}{l}
    {\rm{   }}AC.BM + AB.CN\\
     = 2AH.BC - (AH.HC + AH.HB)\\
     = 2AH.BC - AH.(HC + HB)\\
     = 2AH.BC - AH.BC\\
     = AH.BC
    \end{array}\)

    3) Xét \(\Delta MEA\) và \(\Delta NAF\) có:  

    \(\widehat {EMA} = \widehat {ANF} = {90^0}\), \(\widehat {EAM} = \widehat {AFN}\) (đồng vị, AB // FH)\

    \(\Rightarrow \Delta MEA\) đồng dạng \(\Delta NAF\) (g-g)

    \( \Rightarrow \frac{{ME}}{{NA}} = \frac{{MA}}{{NF}} \Rightarrow ME.NF = NA.MA\)

    Chứng minh tương tự, ta được: \(MB.NC = MH.NH\)

    Mà NA = MH, AM = NH (AMHN là hình chữ nhật)

    \( \Rightarrow ME.NF = MB.NC \Rightarrow \frac{{ME}}{{NC}} = \frac{{MB}}{{NF}}\)

    Xét \(\Delta MEB\) và \(\Delta NCF\) có: 

    \(\widehat {EMB} = \widehat {CNF} = {90^0},\frac{{ME}}{{NC}} = \frac{{MB}}{{NF}}\)

    \( \Rightarrow \Delta MEB\) đồng dạng \(\Delta NCF\) (c-g-c) \( \Rightarrow {\widehat B_2} = {\widehat F_1}\)

    \( \Rightarrow {\widehat B_2} + {\widehat C_2} = {90^0}{\rm{ }}(do{\rm{ }}{\widehat F_1} + {\widehat C_2} = {90^0})\)

    \( \Rightarrow \widehat {EBC} + \widehat {FCB} = {\widehat B_2} + {\widehat B_1} + {\widehat C_1} + {\widehat C_2} = \left( {{{\widehat B}_2} + {{\widehat C}_2}} \right) + \left( {{{\widehat B}_1} + {{\widehat C}_1}} \right)\)

    Mặt khác: \({\widehat B_2} + {\widehat C_2}\) và \({\widehat B_1} + {\widehat C_1}\) (\(\Delta ABC\) vuông tại A)

    \( \Rightarrow \widehat {EBC} + \widehat {FCB} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

    Mà hai góc ở vị trí trong cùng phía

    \( \Rightarrow\) BE // CF (đpcm).

    ADSENSE

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AMBIENT
?>