Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a và AB' vuông góc với BC'

Dựng hình hộp A’B’C’D’.ABCD khi đó AB’//DC’ và đáy ABCD là hình thoi cạnh a có \(BD = a\sqrt 3 \).

Do đó \(BC' \bot DC'\) suy ra tam giác BC’D vuông cân tại C’ (vì \(BC' = DC' = \sqrt {{h^2} + {a^2}} \))

Do đó \(BC' = \frac{{BD}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow h = \sqrt {BC{'^2} - {a^2}}  = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\)

Thể tích của lăng trụ là: \(V = {S_{ABC}}.h = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{a}{{\sqrt 2 }} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{8}.\)