Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a

+ Trước hết chỉ ra góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABC)

Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ \(AH \bot BM(H \in BM).\)

\( \Rightarrow \) Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABC) là \(SHA = {45^0}\)

\( \Rightarrow AH = a.\)

+Xét tam giác ABM vuông tại A có đường cao AH: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}\)

\( \Rightarrow AB = a\sqrt 5 .\)

+ Tính diện tích các tam giác MDN, BNC và hình vuông ABCD.

Từ đó suy ra

\({S_{ABNM}} = {S_{ABCD}} - ({S_{MDN}} + {S_{BNC}}) = \frac{{25{a^2}}}{8}\)

Vậy thể tích hình chóp S.ABNM là:

\({V_{S.ABNM}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABNM}} = \frac{{25{a^2}}}{8} = \frac{1}{3}.a.\frac{{25{a^3}}}{8} = \frac{{25{a^3}}}{{24}}\) (đvtt)