-
Câu hỏi:
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng 1. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng đi qua đường chéo \(BD'\). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện thu được.
- A. \(\frac{\sqrt{6}}{3}\).
- B. \(\frac{\sqrt{6}}{2}\).
- C. \(\frac{\sqrt{6}}{4}\).
- D. \(\sqrt{2}\).
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: B
.png)
Gọi \(O\) là trung điểm \(BD'.\)
Gọi \(E,F\) là tâm hình vuông \(ABB'A'\) và \(DCC'D'.\)
Giả sử thiết diện qua \(BD'\) và cắt \(AD\) trung điểm \(M\) của \(AD.\)
Trong \(\left( ADC'B' \right)\) gọi \(N=B'C'\cap OM\Rightarrow N\) là trung điểm \(B'C'.\)
\(\Rightarrow MN=AB'=BC'=\sqrt{2}.\)
Tứ giác \(BMD'N\) là hình thoi \(\left( MB=MD'=NB=ND'=\frac{\sqrt{5}}{2} \right).\)
\({{S}_{BMD'N}}=\frac{1}{2}MN.BD'=\frac{\sqrt{6}}{2}.\)
Ta chứng minh \(M\) là trung điểm của \(AD\) thì diện tích thiết diện đạt giá trị nhỏ nhất.
Lấy \(M'\) bất kỳ trên \(AD.\) Kẻ \(M'H\bot EF,M'K\bot BD'.\)
Tứ giác \(MM'HO\) là hình bình hành \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} M'H = MO\\ M'H//MO \end{array} \right..\)
Mà \(MO\bot \left( A'BCD' \right)\Rightarrow M'H\bot \left( A'BCD' \right).\)
\(\Delta M'HK\) vuông tại \(H\Rightarrow M'K\ge M'H=MO\)
\(\left\{ \begin{array}{l} {S_{BM'D'N'}} = 2{S_{\Delta M'BD'}} = 2.\frac{1}{2}M'K.BD' = \sqrt 3 M'K\\ {S_{BMD'N}} = 2{S_{\Delta MBD}} = 2.\frac{1}{2}MO.BD' = \sqrt 3 MO \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow {{S}_{BM'D'N'}}\ge {{S}_{BMD'N}}.\)
Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow M'\equiv M.\)
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
YOMEDIA
Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng
CÂU HỎI KHÁC
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) có \(f'\left( x \right)={{\left( x+2 \right)}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{3}}\left( -x+5 \right).\) Số điểm cực trị của hàm số \(y=f\left( x \right)\) là
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau: Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
- Hàm số nào sau đây nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó?
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)={{x}^{3}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right).\) Hỏi hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
- Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 96. Tính thể tích của khối lập phương đó là?
- Cho biểu thức \(P=\sqrt[4]{x\sqrt[3]{{{x}^{2}}.\sqrt[3]{x}}},x>0.\) Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\},\) liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( x \right)=m\) có 3 nghiệm phân biệt là
- Tìm tất cả các giá trị của \)m\) để hàm số \(y=\left( m-1 \right){{x}^{3}}-3\left( m-1 \right){{x}^{2}}+3x+2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
- Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật có \(AB=a;BC=2a.\) Hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và mặt phẳng \(\left( SAD \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh \(SC\) hợp với mặt đáy góc \({{60}^{0}}.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\) theo \(a.\)
- Một kim tự tháp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 150m, cạnh đáy dài 220 m. Hỏi diện tích xung quanh của kim tự tháp là bao nhiêu? (Diện tích xung quanh của hình chóp là tổng diện tích các mặt bên)
- Tập xác định của hàm số \(y={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)\) là
- Cho hai hàm số \(y={{\log }_{a}}x,y={{\log }_{b}}x\) với \(a,b\) là hai số thực dương, khác 1 có đồ thị lần lượt là \(\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)\) như hình vẽ. Khẳng định nào dưới đây sai?
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau Đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) có tổng số bao nhiêu tiệm cận (chỉ xét các tiệm cận đúng và ngang)?
- Một hình nón có bán kính đáy bằng 5 cm và diện tichs xung quanh bằng \(30\pi c{{m}^{2}}.\) Tính thể tích \(V\) của khối nón đó.
- Cho hàm số \(y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}\) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị \(m\) để phương trình \(-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}={{\log }_{2}}m\) có bốn nghiệm thực phân biệt
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R},\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{3}}{{\left( x-2 \right)}^{5}}{{\left( x+3 \right)}^{3}}.\) Số điểm cực trị của hàm số \(f\left( \left| x \right| \right)\) là
- Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đoạn \(\left[ -\frac{2\pi }{3};\frac{\pi }{3} \right]\) là tập hợp con của tập nghiệm bất phương trình \({{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( {{\cos }^{2}}x+1 \right)
- Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên cạnh \(AB\) là điểm \(H\) thỏa mãn \(AH=2BH.\) Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD.\)
- Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\sqrt{6-x}+\sqrt{x-4}+\sqrt{\left( 6-x \right)\left( x-4 \right)}\) là \(M,m.\) Tính tổng \(M+m.\)
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong \(\left( C \right)\), biết đồ thị của \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ Tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A,B\) phân biệt lần lượt có hoành độ \(a,b.\) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
- Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-mx+4\) có hai điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( -3;3 \right)?\)
- Một hình thang cân \(ABCD\) có đáy nhỏ \(AB=1,\) đáy lớn \(CD=3,\) cạnh bên \(BC=AD=\sqrt{2}.\) Cho hình thang \(ABCD\) quay quanh \(AB\) ta được khối nó xoay có thể tích là
- Anh Minh muốn xây dựng một hố ga không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được \(3200c{{m}^{3}}\), tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của hố ga bằng 2 . Xác định diện tích đáy của hố ga để khi xây hố tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất.
- Cho mặt nón tròn xoay đỉnh \(S\) đáy là đường tròn tâm \(O\) có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng \(a.\text{ }A,B\) là hai điểm bất kì trên đường tròn \(\left( O \right).\) Thể tích khối chóp \(S.OAB\) đạt giá trị lớn nhất bằng
- Cho hai số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \({{\log }_{4}}a={{\log }_{6}}b={{\log }_{9}}\left( a+b \right).\) Tính \(\frac{a}{b}.\)
- Ông An gửi 320triệu đồng vào ngân hàng ACB và VietinBank theo phương thức lãi kép. Số tiền thứ nhất gửi vào ngân hàng ACB với lãi suất 2,1% một quý trong thời gian 15tháng. Số tiền còn lại gửi vào ngân hàng VietinBank với lãi suất 0,73% một tháng trong thời gian 9tháng. Biết tổng số tiền lãi ông An nhận được ở hai ngân hàng là 26670725,95đồng. Hỏi số tiền ông An lần lượt ở hai ngân hàng ACB và VietinBank là bao nhiêu (số tiền được làm tròn tới hàng đơn vị)?
- Giả sử trong trận chung kết AFF Cup 2018, đội tuyển Việt Nam phải phân định thắng thua trên chấm đá phạt 11 m. Biết xác suất để mỗi cầu thủ Việt Nam thực hiện thành công quả đá 11 m của mình đều là 0,8. Gọi \(P\) là xác suất để đội tuyển Việt Nam thực hiện thành công từ 4 quả trở lên trong 5 lượt sút đầu tiên. Khẳng định nào sau đây đúng?
- Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng 1. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng đi qua đường chéo \(BD'\). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện thu được.
- Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều và \(A'A=A'B=A'C.\) Biết rằng các cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy một góc \({{60}^{0}}\) và khoảng cách giữa đường thẳng \(AA'\) và mặt phẳng \(\left( BCC'B' \right)\) bằng 1. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
- Cho parabol \(\left( P \right):y=-{{x}^{2}}\) và đồ thị hàm số \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx-2\) có đồ thị như hình vẽ. Tính giá trị của biểu thức \(P=a-3b-5c.\)
- Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a.\) Số đo góc giữa \(\left( BA'C \right)\) và \(\left( DA'C \right).\)
- Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang có \(AD//BC,M\) là điểm di động trong hình thang \(ABCD.\) Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(SA\) và \(SB\) lần lượt cắt các mặt \(\left( SBC \right)\) và \(\left( SAD \right)\) tại \(N\) và \(P.\) Cho \(SA=a,SB=b.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T=M{{N}^{2}}.MP.\)
- Giá trị của tổng \(S=C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+...+C_{100}^{3}\) bằng
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\). Đồ thị của hàm số \(y=f\left( x \right)\) như hình
- Cho \(a,b,c\) là các số thực khác 0 thỏa mãn \({{4}^{a}}={{25}^{b}}={{10}^{c}}.\) Tính giá trị biểu thức \(A=\frac{c}{a}+\frac{c}{b}.\)
- Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,AB=a\sqrt{3},BC=2a,\) đường thẳng \(AC'\) tạo với mặt phẳng \(\left( BCC'B' \right)\) một góc \({{30}^{0}}.\) Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng
- Một hình lập phương có cạnh 4cm. Người ta sơn đỏ mặt ngoài của hình lập phương rồi cắt hình lập phương bằng các mặt phẳng song song với các mặt của hình lập phương thành 64 hình lập phương nhỏ có cạnh 1cm. Có bao nhiêu hình lập phương có đúng một mặt được sơn đỏ?
- Cho tứ diện \(ABCD\) có độ dài cạnh bằng \(a,\left( S \right)\) là mặt tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện \(ABCD.M\) là một điểm thay đổi trên \(\left( S \right).\) Tính tổng \(T=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}.\)
- Cho các số thực dương \(x,y,z\) và thỏa mãn \(x+y+z=3.\) Biểu thức \(P={{x}^{4}}+{{y}^{4}}+8{{z}^{4}}\) đạt GTNN bằng \(\frac{a}{b},\) trong đó \(a,b\) là các số tự nhiên dương, \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(a-b.\)
- Cho khối chóp \(S.ABC,\) đáy \(ABC\) là tam giác có \(AB=AC=a,\widehat{BAC}={{60}^{0}},\widehat{SBA}=\widehat{SCA}={{90}^{0}},\) góc giữa \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SAC \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
- Tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{2}}\left( x\sqrt{{{x}^{2}}+2}+4-{{x}^{2}} \right)+2x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le 1\) là \(\left( -\sqrt{a};-\sqrt{b} \right].\)
- Cho phương trình: \({{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|}}.{{\log }_{81}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)+{{2}^{-\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|-2}}.{{\log }_{3}}\left( \frac{1}{\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2} \right)=0\) Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) nguyên để phương trình đã cho có 6 nghiệm hoặc 7 nghiệm hoặc 8 nghiệm. Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập \(S.\)
- Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\) với \(AD=DC=a,AB=2a.\) Hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SAD \right)\)cùng vuông góc với đáy. Góc giữa \(SC\) và mặt đáy bằng \({{60}^{0}}.\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SB.\)
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên
- Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) đều có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn: \({{f}^{3}}\left( 2-x \right)-2{{f}^{2}}\left( 2+3x \right)+{{x}^{2}}g\left( x \right)+36x=0,\forall x\in \mathbb{R}.\) Tính \(A=3f\left( 2 \right)+4f'\left( 2 \right).\)
- Cho tập \(x=\left\{ 1;2;3;...;8 \right\}\). Gọi \(A\) là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau từ \(x.\) Lấy ngẫu nhiên một số từ \(A.\) Tính xác suất để số lấy được chia hết cho 2222.
- Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với cạnh \(AD=2CD.\) Biết hai mặt \(\left( SAC \right),\left( SBD \right)\) cùng vuông góc với mặt đáy và đoạn \(BD=6;\) góc giữa \(\left( SCD \right)\) và mặt đáy bằng \({{60}^{0}}.\) Hai điểm \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SB.\) Thể tích khối đa diện \(ABCDMN\) bằng
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đại hàm \(f'\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4x \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 2{{x}^{2}}-12x+m \right)\) có đúng 5 điểm cực trị?
- Hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) như hình vẽ Hàm số \(y=f\left( 1-x \right)+\frac{{{x}^{2}}}{2}-x\) nghịch biến trên khoảng
- Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), khoảng cách từ \(C\) đến \(BB'\) bằng \(2a,\) khoảng cách từ \(A\) đến các đường thẳng \(BB'\) và \(CC'\) lần lượt bằng \(a\) và \(a\sqrt{3}\), hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng\(\left( A'B'C' \right)\) là trung điểm \(M\) của \(B'C'\) và \(A'M=\frac{2a\sqrt{3}}{3}.\) Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
