Cho khối chóp \(S.ABC,\) đáy \(ABC\) là tam giác có \(AB=AC=a,\widehat{BAC}={{60}^{0}},\widehat{SBA}=\widehat{SCA}={{90}^{0}},\) góc giữa \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SAC \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Thể tích của khối chóp đã cho bằng:

Câu hỏi:
Cho khối chóp \(S.ABC,\) đáy \(ABC\) là tam giác có \(AB=AC=a,\widehat{BAC}={{60}^{0}},\widehat{SBA}=\widehat{SCA}={{90}^{0}},\) góc giữa \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SAC \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
- A. \(\frac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}.\)
- B. \(\frac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}\).
- C. \(\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}\).
- D. \(\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}\).
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: D

Ta có: \(\Delta SBA=\Delta SCA=>SB=SC\)

Gọi M là trung điểm của BC, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} SM \bot BC\\ AM \bot BC \end{array} \right. = > BC \bot (SAM)\)

Dựng \(SH\bot AM=>SH\bot (ABC)\). Khi đó \(\widehat{SBH}={{60}^{o}}\)

Do \(S{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}=S{{B}^{2}};S{{B}^{2}}+A{{B}^{2}}=S{{A}^{2}}\)

Ta có: \(S{{A}^{2}}=S{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}+A{{B}^{2}}\), mặt khác \(S{{A}^{2}}=H{{A}^{2}}+S{{H}^{2}}\)

Do đó \(H{{B}^{2}}+A{{B}^{2}}=H{{A}^{2}}=>HB\bot AB\)

Ta có: \(AB=a=>BH=AB\tan \widehat{BAH}=a\sqrt{3}\)

Khi đó:

\(\begin{align} & SH=HB\tan {{60}^{o}}=3a;{{S}_{ABC}}=\frac{AB.AC.\sin A}{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \\ & =>V=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4} \\ \end{align}\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ADSENSE