Cho tập \(x=\left\{ 1;2;3;...;8 \right\}\). Gọi \(A\) là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau từ \(x.\) Lấy ngẫu nhiên một số từ \(A.\) Tính xác suất để số lấy được chia hết cho 2222.

\(A\) là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau từ \(x=\left\{ 1;2;3;...;8 \right\}\) nên \(A\) có số phần tử là 8! (số).

Giả sử lấy được từ tập \(A\) số có dạng \(\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}\) chia hết cho 2222 (với \({{a}_{i}}\in X,i=\overline{1,8}).\)

Vì 2222 = 2.11.101 (2; 11; 101 là các số đôi một nguyên tố cùng nhau) nên \(\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}\) là số chữ đồng thời chia hết cho 11 và 101.

Ta có: \(\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}\vdots 11\Rightarrow \left[ \left( {{a}_{1}}+{{a}_{3}}+{{a}_{5}}+{{a}_{7}} \right)-\left( {{a}_{2}}+{{a}_{4}}+{{a}_{6}}+{{a}_{8}} \right) \right]\vdots 11.\)

Mà \(\left( {{a}_{1}}+{{a}_{3}}+{{a}_{5}}+{{a}_{7}} \right)+\left( {{a}_{2}}+{{a}_{4}}+{{a}_{6}}+{{a}_{8}} \right)=1+2+...+8=36,{{a}_{i}}\in X,i=\overline{1,8}.\)

Suy ra \({{a}_{1}}+{{a}_{3}}+{{a}_{5}}+{{a}_{7}}={{a}_{2}}+{{a}_{4}}+{{a}_{6}}+{{a}_{8}}=18.\)

Lại có: \(\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}\vdots 101\Rightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{5}}={{a}_{3}}+{{a}_{7}}={{a}_{2}}+{{a}_{6}}={{a}_{4}}+{{a}_{8}}=9.\)

Nhận thấy các cặp chữ số có tổng bằng 9 lấy được từ \(x\) là: \(\left\{ 1;8 \right\};\left\{ 2;7 \right\};\left\{ 3;6 \right\};\left\{ 4;5 \right\}.\)

Khi đó để lập được một số có dạng \(\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}\) chia hết cho 2222, ta thực hiện liên tiếp các công đoạn sau:

+ Chọn 1 trong 4 cặp chữ số có tổng bằng 9: có 4 cách.

+ Xếp chữ số chẵn vào vị trí \({{a}_{8}}\) và chữ số lẻ vào vị trí \({{a}_{4}}:\) có 1 cách.

+ Chọn 1 trong 3 cặp chữ số có tổng bằng 9 còn lại: có 3 cách.

+ Xếp 2 chữ số trên vào vị trí \({{a}_{1}},{{a}_{5}}:\) có 2 cách.

+ Chọn 1 trong 2 cặp chữ số có tổng bằng 9 còn lại: có 2 cách.

+ Xếp 2 chữ số trên vào vị trí \({{a}_{2}},{{a}_{6}}:\) có 2 cách.

+ Cuối cùng xếp 2 chữ số của cặp còn lại vào vị trí \({{a}_{3}},{{a}_{7}}:\) có 2 cách.

Như vậy số các số cần tìm là \(4.1.3.2.2.2.2=192\) số.

Xét phép thử: “Lấy ngẫu nhiên một số từ \(A\)”.

Khi đó số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega  \right)=8!.\)

Biến cố B. “Số lấy được chia hết cho 2222” \(\Rightarrow n\left( B \right)=192.\)

Vậy xác suất để số lấy được chia hết cho 2222 là:\(P\left( A \right)=\frac{192}{8!}.\)