Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đại hàm \(f'\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4x \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 2{{x}^{2}}-12x+m \right)\) có đúng 5 điểm cực trị?

\(g'\left( x \right)=\left( 4x-12 \right).f'\left( 2{{x}^{2}}-12x+m \right)\)

            \(=\left( 4x-12 \right){{\left( 2{{x}^{2}}-12x+m+1 \right)}^{2}}\left( 2{{x}^{2}}-12x+m \right)\left( 2{{x}^{2}}-12x+m-4 \right)\)

Hàm số \(g\left( x \right)\) có đúng 5 điểm cực trị

\(\Leftrightarrow g'\left( x \right)\) đổi dấu 5 lần

\(\Leftrightarrow g'\left( x \right)=0\) có 5 nghiệm đơn phân biệt

\(\Leftrightarrow \) phương trình \(2{{x}^{2}}-12x+m=0\) có hai nghiệm phân biệt khác 3 và phương trình \(2{{x}^{2}}-12x+m-4=0\) có hai nghiệm phân biệt khác 3 và các nghiệm này khác nhau

Phương trình \(2{{x}^{2}}-12x+m=0\) có hai nghiệm phân biệt khác 3 và phương trình \(3{{x}^{2}}-12x+m-4=0\) có hai nghiệm phân biệt khác 3.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta {'_1} > 0\\ \Delta {'_2} > 0\\ {2.3^2} - 12.3 + m \ne 0\\ {2.3^2} - 12.3 + m - 4 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 36 - 2m > 0\\ 36 - 2\left( {m - 4} \right) > 0\\ m \ne 18\\ m \ne 22 \end{array} \right. \Leftrightarrow m < 18\)

Với điều kiện \(m<18\) thì phương trình \(2{{x}^{2}}-12x+m=0\) có hai nghiệm phân biệt là \(a;b\) và phương trình \(2{{x}^{2}}-12x+m-4=0\) có hai nghiệm phân biệt là \(c,d.\)

Theo Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l} a + b = c + d = 6\\ a.b = m\\ c.d = m - 4 \end{array} \right.\)

Nếu \(a=c\) thì \(b=d\) (vì \(a+b=c+d=6)\Rightarrow a.b=c.d\Leftrightarrow m=m-4\) điều này là vô lí

Do đó các nghiệm của hai phương trình \(2{{x}^{2}}-12x+m=0\) và \(2{{x}^{2}}-12x+m-4=0\) luôn khác nhau.

Mà \(m\) là số nguyên dương nên \(m\in \left\{ 1;2;3;4...17 \right\}.\) Do đó có 17 giá trị \(m\) thỏa mãn bài toán.