Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với cạnh \(AD=2CD.\) Biết hai mặt \(\left( SAC \right),\left( SBD \right)\) cùng vuông góc với mặt đáy và đoạn \(BD=6;\) góc giữa \(\left( SCD \right)\) và mặt đáy bằng \({{60}^{0}}.\) Hai điểm \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SB.\) Thể tích khối đa diện \(ABCDMN\) bằng

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD;E\) là trung điểm của \(CD\)

\(\left\{ \begin{array}{l} \left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\ \left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\ \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO \end{array} \right. \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right).\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} OE \bot CD\\ SO \bot CD \end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOE} \right) \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)}} \right) = \widehat {SEO} = {60^0}\)

Đặt \(AD=2CD=2x\)

\(B{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}=5{{x}^{2}}\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}=36\Rightarrow x=\frac{6\sqrt{5}}{5}\)

\(\Rightarrow AD=\frac{12\sqrt{5}}{5};CD=\frac{6\sqrt{5}}{5}\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=\frac{72}{5}\)

\(OE=\frac{AD}{2}=\frac{6\sqrt{5}}{5}\)

Trong tam giác vuông \(SOE\) có \(SO=OE.\tan {{60}^{0}}=\frac{6\sqrt{15}}{5}.\)

\(\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\frac{144\sqrt{15}}{25}\)

\({{V}_{S.MNCD}}={{V}_{S.MCD}}+{{V}_{S.MNC}}\)

\(\frac{{{V}_{S.MCD}}}{{{V}_{S.ACD}}}=\frac{SM}{SA}=\frac{1}{2};\frac{{{V}_{S.MNC}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow {{V}_{S.MNCD}}=\frac{3}{4}.{{V}_{S.ABC}}=\frac{3}{8}.{{V}_{S.ABCD}}\)

\({{V}_{ABCDMN}}={{V}_{S.ABCD}}-{{V}_{S.MNCD}}=\frac{5}{8}.{{V}_{S.ABCD}}=\frac{18\sqrt{15}}{5}.\)