Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng và O là tâm của đáy. Gọi M, N, P và Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCD) và (SDA). Thể tích của khối chóp O.MNPQ bằng

Câu hỏi:
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng \(\frac{{\sqrt 3 a}}{2}\) và O là tâm của đáy. Gọi M, N, P và Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCD) và (SDA). Thể tích của khối chóp O.MNPQ bằng
- A. \(\frac{{{a^3}}}{{48}}\)
- B. \(\frac{{2{a^3}}}{{81}}\)
- C. \(\frac{{{a^3}}}{{81}}\)
- D. \(\frac{{{a^3}}}{{96}}\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: D

Gọi M', N', P', Q' lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

Ta có \(AB \bot OM'\) và \(AB \bot SO\) nên \(AB \bot \left( {SOM'} \right)\).

Suy ra \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SOM'} \right)\) theo giao tuyến SM'.

Theo giả thiết ta có \(OM \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(OM \bot SM'\), do đó M là hình chiếu vuông góc của O trên SM'.

Tương tự như vậy: N, P, Q là hình chiếu vuông góc của O lần lượt trên SN', SP', SQ'.

Ta có \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{2{a^2}}}{4}} = \frac{a}{2} = OM'\).

Suy ra tam giác SOM' vuông cân tại O nên M là trung điểm của SM'.

Từ đó dễ chứng minh được MNPQ là hình vuông có tâm I thuộc SO và nằm trong mặt phẳng song song với (ABCD), với I là trung điểm của SO.

Suy ra \(OI = \frac{1}{2}OS = \frac{a}{4}\).

Do đó \(MN = \frac{1}{2}M'N' = \frac{1}{4}AC = \frac{{\sqrt 2 a}}{4}\).

Thể tích khối chóp O.MNPQ bằng \(\frac{1}{3}{S_{MNPQ}}.OI = \frac{1}{3}.M{N^2}.OI = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{8}.\frac{a}{4} = \frac{{{a^3}}}{{96}}\).

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ADSENSE