Cho hàm số \(y=x^3-2009x\) có đồ thị là (C). Gọi (M_1\) là điểm trên (C) có hoành độ \(x_1=1\).

Giả sử \({M_i}\left( {{x_i};{y_i}} \right)\)  , tiếp tuyến tại M có phương trình \((d_i):y=ax+b\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \((d_i)\) và (C):

\({x^3} - 2009x = ax + b \Leftrightarrow {x^3} - 2009 - ax - b = 0\left( 1 \right)\) 

Vì \((d_i)\) và (C) tiếp xúc với nhau tại điểm có hoành độ \(x_i\) nên (1) có nghiệm \(x=x_i\). Do đó

\({x^3} - 2009 - ax - b = {\left( {x - {x_i}} \right)^2}\left( {x + k} \right) = \left( {{x^2} - 2{x_i}x + {x_i}^2} \right)\left( {x + k} \right)\) 

Đồng nhất hệ số \({x^2}:0 = k - 2{x_i} \Leftrightarrow k = 2{x_i}\) . do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {x - {x_i}} \right)^2}\left( {x + 2{x_i}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = {x_i}\\
x =  - 2{x_i}
\end{array} \right.\) 

Do đó \(M_{i+1}\) có hoành độ \(-2x_i\)

Xét dãy số (un) với \(u_i\) là hoành độ của điểm Mi. Dễ thấy \({u_n} =  - 2{u_{n - 1}}\) nên dãy số này là cấp số nhân công bội q=-2 với \(u_1=1\). Ta có: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = {\left( { - 2} \right)^{n - 1}}\) 

Do đó

\(\begin{array}{l}
2008{x_n} + {y_n} + {2^{2013}} = 0 \Leftrightarrow 2009{x_n} + {x_n}^3 - 2009{x_n} + {2^{2013}} = 0\\
 \Leftrightarrow x_n^3 =  - {2^{2013}} \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^{3n - 3}} = {\left( { - 2} \right)^{2013}}\\
 \Leftrightarrow 3n - 3 = 2013 \Leftrightarrow n = 672
\end{array}\)