Tập tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để phương trình \(m\left( {\sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x}  + 3} \right)

Điều kiện: $x \in \left[ { - 1;1} \right]$ . Đặt $\sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x}  = t$ , ta có

$\begin{array}{l} t' = \frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }} = \frac{{\sqrt {1 - x}  - \sqrt {1 + x} }}{{2\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{{ - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} \left( {\sqrt {1 - x}  + \sqrt {1 + x} } \right)}}\\ {t^2} = 2 + 2\sqrt {1 - {x^2}}  \Rightarrow 2\sqrt {1 - {x^2}}  = {t^2} - 2 \end{array}$ 

Do đó $\begin{array}{l} m\left( {\sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x}  + 3} \right) + 2\sqrt {1 - {x^2}}  - 5 = 0\left( 1 \right)\\  \Leftrightarrow m\left( {t + 3} \right) + {t^2} - 2 - 5 = 0 \Leftrightarrow {t^2} + mt + 3m - 7 = 0\\  \Leftrightarrow 7 - {t^2} = m\left( {t + 3} \right) \Leftrightarrow \frac{{7 - {t^2}}}{{t + 3}} = m\left( 2 \right) \end{array}$ 

BBT

Dựa vào bảng biến thiên hàm t(x) trên, ta thấy để (1) có đúng 2 nghiệm thực phân biệt x thì (2) có đúng 1 nghiệm $t \in \left[ {\sqrt 2 ;2} \right)$ . Nghiệm còn lại nếu có khác 2

Xét hàm $f\left( t \right) = \frac{{7 - {t^2}}}{{t + 3}},f'\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 6t + 7}}{{{{\left( {t + 3} \right)}^2}}} < 0,\forall t > 0$ nên $f(x)$ nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ 

Do đó (2) có nghiệm thuộc $\left[ {\sqrt 2 ;2} \right)$ khi và chỉ khi $f\left( {\sqrt 2 } \right) \ge m > f\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{{15 - 5\sqrt 2 }}{7} \ge m > \frac{3}{5}$ 

Do đó $a = \frac{3}{5};b = \frac{{15 - 5\sqrt 2 }}{7}$ nên $b - \frac{5}{7}a = \frac{{12 - 5\sqrt 2 }}{7}$