Cho hàm số \(y = {x^3} - 2\left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} - 2m} \right)x + 4{m^2}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d:y = 4{\rm{x}} + 8\). Đường thẳng \({\rm{d}}\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ \({{\rm{x}}_1},{x_2},{x_3}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = x_1^3 + x_2^3 + x_3^3\).

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 2\left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} - 2m} \right)x + 4{m^2}\) và đường thẳng \(y = 4x + 8\)là nghiệm của phương trình

\(\begin{array}{l}{x^3} - 2\left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} - 2m} \right)x + 4{m^2} = 4x + 8\\ \Leftrightarrow {x^3} - 2\left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} - 2m - 2} \right)x + 4{m^2} - 8 = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\{x^2} - 2mx + 2{m^2} - 4 = 0\left( 1 \right)\end{array} \right.\)

Từ (1)  có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = 2{m^2} - 4\end{array} \right.\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}P = x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = \left( {{x_1} + {x_1}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right] - 8\\ \Rightarrow P =  - 4{m^3} + 24m - 8 = f\left( m \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}f'\left( m \right) =  - 12{m^2} + 24 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 2 \\f\left( {\sqrt 2 } \right) = 16\sqrt 2  - 8\\f\left( { - 2} \right) =  - 16\sqrt 2  - 8\end{array}\)

Nên \({P_{\max }} = 16\sqrt 2  - 8\)

Chọn A.