Cho hàm số \[y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị (C) và đường thẳng \(d: y = x + m\).

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:

\(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = x + m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne  - 1\\
{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 1 = 0\left( 1 \right)
\end{array} \right.\) 

Khi đó d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác \( - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right) > 0\\
{\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m - 1} \right) + m - 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 1 \vee m > 5\) 

Ta có \(A\left( {{x_1};{x_1} + m} \right),B\left( {{x_2};{x_2} + m} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {{x_2} - {x_1};{x_2} - {x_1}} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {2{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}}  = \sqrt 2 \left| {{x_2} - {x_1}} \right|,\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 1 - m\\
{x_1}{x_2} = m - 1
\end{array} \right.\)Từ đây ta có

 \(\begin{array}{l}
AB = \sqrt {10}  \Leftrightarrow \left| {{x_2} - {x_1}} \right| = \sqrt 5  \Leftrightarrow {\left( {{x_2} + {x_1}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 5\\
 \Leftrightarrow {\left( {1 - m} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right) = 5 \Leftrightarrow {m^2} - 6m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = 6
\end{array} \right.\left( n \right)
\end{array}\) 

Vậy chọn m=0 hoặc m=6