Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình. Số nghiệm của phương trình \(f\left( {1 - f\left( x \right)} \right) = 2\) là?

Phương pháp:

- Đặt \(t = 1 - f\left( x \right)\), đưa phương trình về dạng phương trình ẩn \(t\).

- Tìm số nghiệm của phương trình thông qua số giao điểm của đồ thị hàm số.

- Từ nghiệm \(t\) tìm được thay lại phương trình \(f\left( x \right) = 1 - t\) để tìm số nghiệm \(x\), tiếp tục áp dụng phương pháp tương giao.

Cách giải:

Đặt \(t = 1 - f\left( x \right)\), phương trình trở thành \(f\left( t \right) = 2\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = 2\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f\left( t \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = {\rm{\;}} - 2}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - f\left( x \right) = 1}\\{1 - f\left( x \right) = {\rm{\;}} - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)}\\{f\left( x \right) = 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)}\end{array}} \right.\).

+ Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 0\) nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

+ Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 3\) nên phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 4 nghiệm.

Chọn D.