Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và mp (DBC’) hợp với mặt đáy (ABCD) một góc \({60^0}\). Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’?

Phương pháp:

- Xác định góc giữa (DBC’) và (ABCD) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao khối lăng trụ.

- Tính thể tích khối lăng trụ bằng chiều cao nhân diện tích đáy.

Cách giải:

Vì ABCD.A’B’C’D’ là lăng trụ tứ giác đều nên ABCD là hình vuông cạnh a \( \Rightarrow AC \bot BD\) tại O.

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot CO}\\{BD \bot CC'}\end{array}} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {C'CO} \right) \Rightarrow BD \bot C'O\).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {DBC'} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD}\\{C'O \subset \left( {DBC'} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} C'O \bot BD{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cmt} \right)}\\{CO \subset \left( {ABCD} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} CO \bot BD}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {DBC'} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {\left( {C'O;CO} \right)} \right) = \angle C'OC = {60^0}\).

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên \(AC = a\sqrt 2 {\rm{\;}} \Rightarrow CO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Xét tam giác vuông C’CO có \(CC' = CO.\tan {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\sqrt 3 {\rm{\;}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = CC'.{S_{ABCD}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.{a^2} = \dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{2}\).

Chọn A.