Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cân tại \(A\), mặt bên \(\left( {SBC} \right)\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(B\) và vuông góc với SC, chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó?

Phương pháp:

- Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh \(AD \bot SC\). Từ đó, dựng mặt phẳng \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\) với chú ý \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)//AD\).

- Sử dụng tỉ số thể tích khối chóp \(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)

Cách giải:

Gọi D là trung điểm của BC ta có \(AD \bot BC\)

Mà \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right),AD \subset \left( {ABC} \right)\) nên \(AD \bot \left( {SBC} \right)\)\( \Rightarrow AD \bot SC\)

Lại có \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right) \bot SC \Rightarrow \left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)//AD\)

Gọi E là trung điểm của SC thì \(BE \bot SC \Rightarrow BE \subset \left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\)

Trong mp(SBC), gọi G là giao điểm của BE và AD thì \(G \in BE \subset \left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\)

Tròn mp(SAD), qua G kẻ GF//AD (\(F \in SA\)) ta được (BEF) chính là mặt phẳng \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\).

Dễ thấy G là trọng tâm tam giác SBC nên \(\dfrac{{SG}}{{SD}} = \dfrac{2}{3}\).

Mà GF//AD nên theo Ta let \(\dfrac{{SF}}{{SA}} = \dfrac{{SG}}{{SD}} = \dfrac{2}{3}\)

Vậy \(\dfrac{{{V_{S.BEF}}}}{{{V_{S.BCA}}}} = \dfrac{{SB}}{{SB}}.\dfrac{{SE}}{{SC}}.\dfrac{{SF}}{{SA}} = 1.\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}\).

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow {V_{S.BEF}} = \dfrac{1}{3}{V_{S.ABC}}}\\{ \Rightarrow {V_{B.ACEF}} = {V_{S.ABC}} - {V_{S.BEF}}}\\{ = {V_{S.ABC}} - \dfrac{1}{3}{V_{S.ABC}} = \dfrac{2}{3}{V_{S.ABC}}}\\{ \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.BEF}}}}{{{V_{B.ACEF}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}{V_{S.ABC}}}}{{\dfrac{2}{3}{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{1}{2}}\end{array}\)

Chọn A.