Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị là đường cong như hình bên.

\(f\left( {{x^3}f(x)} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( {{x^3}f(x)} \right) =  - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^3}f(x) = 0\\
{x^3}f(x) = a > 0\\
{x^3}f(x) = b > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
f(x) = 0\\
f(x) = \frac{a}{{{x^3}}}\,({\rm{do}}\,\,x \ne 0)\\
f(x) = \frac{b}{{{x^3}}}({\rm{do}}\,x \ne 0)
\end{array} \right.\)

 f(x) = 0 có một nghiệm dương x = c.

Xét phương trình \(f(x) = \frac{k}{{{x^3}}}\) với \(x \ne 0,\,\,k > 0\).

Đặt \(g(x) = f(x) - \frac{k}{{{x^3}}}\)

\(g'(x) = f'(x) + \frac{{3k}}{{{x^4}}}\)

Với x > c, nhìn hình ta ta thấy f'(x) > 0 \( \Rightarrow g'(x) = f'(x) + \frac{{3k}}{{{x^4}}} > 0\)

\( \Rightarrow g(x) = 0\) có tối đa một nghiệm.

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}
g(c) < 0\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g(x) =  + \infty 
\end{array} \right.\) và g(x) liên tục trên \(\left( {c; + \infty } \right)\)

→ \(g(x) = 0\) có duy nhất nghiệm trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

Với 0 < x < c thì \(f(x) < 0 < \frac{k}{{{x^3}}}\) → g(x) = 0 vô nghiệm.

Với x < 0 , nhìn hình ta ta thấy \(f'(x) > 0 \Rightarrow g'(x) = f'(x) + \frac{{3k}}{{{x^4}}} > 0\)

→ g(x) = 0 có tối đa một nghiệm.

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} g(x) > 0\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } g(x) =  - \infty 
\end{array} \right.\) và g(x) liên tục trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)

g(x) = 0 có duy nhất nghiệm trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)

Tóm lại g(x) = 0 có đúng hai nghiệm trên \(\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Suy ra hai phương trình \(f(x) = \frac{a}{{{x^3}}},f(x) = \frac{b}{{{x^3}}}\) có 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác c.

Vậy phương trình \(f\left( {{x^3}f(x)} \right) + 1 = 0\) có đúng 6 nghiệm.