Cho a>b>1 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P={log_(a/b)}^2(a^2)+3{log_b}(a/b)

\(\begin{array}{l} P = \frac{1}{{{{\left( {{{\log }_{{a^2}}}\frac{a}{b}} \right)}^2}}} + 3\left( {{{\log }_b}a - 1} \right) = \log _{\frac{a}{b}}^2({a^2}) + 3{\log _b}\left( {\frac{a}{b}} \right)\\ = {\left( {\frac{{{{\log }_b}{a^2}}}{{{{\log }_b}\frac{a}{b}}}} \right)^2} + 3\left( {{{\log }_b}a - 1} \right) = {\left( {\frac{{2{{\log }_b}a}}{{{{\log }_b}a - 1}}} \right)^2} + 3\left( {{{\log }_b}a - 1} \right) \end{array}\)

Đặt: \(x = {\log _b}a - 1\) do a>b>1 nên x>0. Ta có:

\(f(x) = 4{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^2} + 3x\) và \(f'(x) = - \frac{8}{{{x^2}}}\left( {1 + \frac{1}{x}} \right) + 3\) 

\(\begin{array}{l} f'(x) = 0 \Leftrightarrow - \frac{8}{{{x^2}}}\left( {1 + \frac{1}{x}} \right) + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 8(x + 1) = 3{x^2} \Leftrightarrow x = 2 \end{array}\)

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x=2.

Giá trị nhỏ nhất \(f(2) = 15 \Rightarrow {P_{\min }} = 15.\)