Lý thuyết và bài tập về Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai Toán 12

a) Căn bậc hai của số phức.

- Số phức \(w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) là căn bậc hai của số phức \(z = a + bi\) nếu \({w^2} = z\).

- Mọi số phức \(z \ne 0\) đều có hai căn bậc hai là hai số đối nhau \(w\) và \( - w\)

- Số thực \(a > 0\) có hai căn bậc hai là \( \pm \sqrt a \); số thực \(a < 0\) có hai căn bậc hai là \( \pm i\sqrt {\left| a \right|} \).

b) Phương trình bậc hai.

Xét phương trình bậc hai tổng quát: \(A{z^2} + Bz + C = 0\left( {A \ne 0} \right)\).

- Biệt thức \(\Delta  = {B^2} - 4AC\).

+ Nếu \(\Delta  = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({z_{1,2}} =  - \dfrac{B}{{2A}}\)

+ Nếu \(\Delta  \ne 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({z_{1,2}} = \dfrac{{ - B \pm \sqrt \Delta  }}{{2A}}\) (ở đó \(\sqrt \Delta  \) là kí hiệu căn bậc hai của số phức \(\Delta \))

- Hệ thức Vi-et: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} =  - \dfrac{B}{A}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{C}{A}\end{array} \right.\)

Dạng 1: Tìm căn bậc hai của số phức.

Phương pháp: Cách 1: Biến đổi \(z = a + bi\) dưới dạng bình phương của số phức khác. Cách 2: Giả sử \(w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) là một căn bậc hai của \(z\), khi đó \({w^2} = z \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = a\\2xy = b\end{array} \right.\)

Ví dụ: Tìm căn bậc hai của số phức \(z = 8 + 6i\).

Giải:

Cách 1:

Ta có: \(z = 8 + 6i = 9 + 6i - 1 = {3^2} + 2.3i + {i^2} = {\left( {3 + i} \right)^2}\)

Do đó các căn bậc hai của số phức \(z\) là \(3 + i\) và \( - 3 - i\).

Cách 2:

Giả sử \(w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) là một căn bậc hai của số phức \(z = 8 + 6i\)

Khi đó \({w^2} = z \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 8\\2xy = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{3}{x}\\{x^2} - \dfrac{9}{{{x^2}}} = 8\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{3}{x}\\{x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{3}{x}\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} =  - 1(L)\\{x^2} = 9(TM)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3,y = 1\\x =  - 3,y =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy có hai căn bậc hai của số phức \(z = 8 + 6i\) là \(3 + i\) và \( - 3 - i\).

Dạng 2: Giải phương trình bậc hai.

Phương pháp: - Bước 1: Tính \(\Delta  = {B^2} - 4AC\). - Bước 2: Tìm các căn bậc hai của \(\Delta \) - Bước 3: Tính các nghiệm: + Nếu \(\Delta  = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({z_{1,2}} =  - \dfrac{B}{{2A}}\) + Nếu \(\Delta  \ne 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({z_{1,2}} = \dfrac{{ - B \pm \sqrt \Delta  }}{{2A}}\) (ở đó \(\sqrt \Delta  \) là kí hiệu căn bậc hai của số phức \(\Delta \))

Ví dụ: Tìm tập nghiệm của phương trình \({z^2} + z + 1 = 0\).

Giải:

Ta có: \(\Delta  = {1^2} - 4.1.1 =  - 3\), các căn bậc hai của \( - 3\) là \(i\sqrt 3 \) và \( - i\sqrt 3 \)

Do đó phương trình có nghiệm \({z_1} = \dfrac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}\) và \({z_2} = \dfrac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \left\{ {\dfrac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2};\dfrac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}} \right\}\)

Dạng 3: Sử dụng Vi-et để giải bài toán liên quan đến hai nghiệm của phương trình bậc hai.

Phương pháp: - Bước 1: Nêu định lý vi-et. - Bước 2: Biểu diễn biểu thức cần tính giá trị để làm xuất hiện tổng và tích hai nghiệm. - Bước 3: Thay các giá trị tổng và tích vào biểu thức để tính giá trị.

Dạng 4: Giải phương trình bậc cao.

Phương pháp: Sử dụng các phép biến đổi (phân tích thành nhân tử, đặt ẩn phụ,…) đưa phương trình bậc cao về các phương trình bậc nhất, bậc hai,…để giải phương trình.

Ví dụ: Giải phương trình \({z^4} + 1 = 0\).

Giải:

Ta có: \({z^4} + 1 = 0 \Leftrightarrow {z^4} - {i^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} - i} \right)\left( {{z^2} + i} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = i\left( 1 \right)\\{z^2} =  - i\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Giải (1): Ta tìm căn bậc hai của số phức \(z' = i\).

Gọi \(w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) là một căn bậc hai của số phức \(z' = i\). Khi đó:

\({w^2} = i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 0\\2xy = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = y\\2{x^2} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - y\\ - 2{y^2} = 1(L)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\x = y =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right. \\ \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\\z =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\end{array} \right.\)

Giải (2): Ta tìm căn bậc hai của số phức \(z' =  - i\)

Vì \(z' =  - i = {i^2}.i\) nên các căn bậc hai của \(z'\) là \(i.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\) và \(i\left( { - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\)

Vậy phương trình có các nghiệm \({z_1} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i;{z_2} =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i;{z_3} =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i;{z_4} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\).

Bài 1: Tìm các số thực a,b,c sao cho hai phương trình \(a{{z}^{2}}+bz+c=0,c{{z}^{2}}+bz+a+16-16i=0\) có nghiệm chung là z=1+2i

A. \(\left( a,b,c \right)=\left( 1;-2;5 \right)\)

B. \(\left( a,b,c \right)=\left( 1;2;5 \right)\)

C. \(\left( a,b,c \right)=\left( -1;-2;5 \right)\)

D. \(\left( a,b,c \right)=\left( 1;-2;-5 \right)\)

Lời giải

Theo giả thiết phương trình \(a{{z}^{2}}+bz+c=0\) có nghiệm z=1+2i khi

\(a{{\left( 1+2i \right)}^{2}}+b\left( 1+2i \right)+c=0\Leftrightarrow -3a+b+c+\left( 4a+2b \right)i=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & -3a+b+c=0 \\ & 4a+2b=0 \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Tương tự phương trình \(c{{z}^{2}}+bz+a+16-16i=0\) có nghiệm z=1+2i khi

\(c{{\left( 1+2i \right)}^{2}}+b\left( 1+2i \right)+a+16-16i=0\Leftrightarrow c\left( -3+4i \right)+b+2bi+a+16-16i=0 \)

\(\Leftrightarrow \left( a+b-3c+16 \right)+2\left( b+2c-8 \right)i=0\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a+b-3c+16=0 \\ & b+2c-8=0 \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\left( 2 \right) \)

Từ (1), (2) suy ra \(\left( a,b,c \right)=\left( 1;-2;5 \right).\)

Chọn A.

Bài 2: Gọi \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là 2 nghiệm của phương trình \({{z}^{2}}-2z+2=0\) trên tập số phức. Tìm mô đun của số phức \(\omega ={{\left( {{z}_{1}}-1 \right)}^{2015}}+{{\left( {{z}_{2}}-1 \right)}^{2016}}.\)

A. \(\left| \omega  \right|=\sqrt{5}\)

B. \(\left| \omega  \right|=\sqrt{2}\)

C. \(\left| \omega  \right|=1\)

D. \(\left| \omega  \right|=\sqrt{3}\)

Lời giải

Phương trình \({{z}^{2}}-2z+2=0\) có \(\Delta '=1-2=-1={{i}^{2}}.\)

Suy ra phương trình có hai nghiệm

\(\left[ \begin{align} & {{z}_{1}}=1-i \\ & {{z}_{2}}=1+i \\ \end{align} \right.\) hoặc \(\left[ \begin{align} & {{z}_{1}}=1+i \\ & {{z}_{2}}=1-i \\ \end{align} \right.\)

Thay \(\left[ \begin{align} & {{z}_{1}}=1-i \\ & {{z}_{2}}=1+i \\ \end{align} \right.\) vào \(\omega \) ta được : \(\omega ={{\left( -i \right)}^{2015}}+{{i}^{2016}}=-{{\left( {{i}^{2}} \right)}^{1007}}.i+{{\left( {{i}^{2}} \right)}^{1013}}=-1+i.\)

Thay \(\left[ \begin{align} & {{z}_{1}}=1+i \\ & {{z}_{2}}=1-i \\ \end{align} \right.\) vào \(\omega ={{i}^{2015}}+{{\left( -i \right)}^{2016}}={{\left( {{i}^{2}} \right)}^{1002}}.i+{{\left( {{i}^{2}} \right)}^{1003}}=-1+i.\)

Vậy \(\left| \omega  \right|=\sqrt{2}.\)

Chọn B.

Bài 3: Tìm các số thực b,c để phương trình (với ẩn z) \({{z}^{2}}+bz+c=0\) nhận z=1+i là một nghiệm.

A. b=2;c=-2

B. b=2;c=2

C. b=-2;c=-2

D. b=-1;c=1

Lời giải

Nếu z=1+i là nghiệm thì : \({{\left( 1+i \right)}^{2}}+b\left( 1+i \right)+c=0\Leftrightarrow b+c+\left( b+2 \right)i=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & b+c=0 \\ & b+2=0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & b=-2 \\ & c=2 \\ \end{align} \right.\)

Một phương trình bậc hai với hệ số thực, nếu có một nghiệm phức z thì cũng nhận \(\overline{z}\) làm nghiệm.

Vậy nếu z=1+i là một nghiệm thì \(\overline{z}=1-i\) cũng là nghiệm. Theo định lý Vi-ét:

\(\left\{ \begin{align} & \left( 1+i \right)+\left( 1-i \right)=-b\Rightarrow b=-2 \\ & \left( 1+i \right)\left( 1-i \right)=2=c \\ \end{align} \right.\)

Chọn A.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai Toán 12. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!