Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 2 Bài 5 Hàm số mũ và hàm số logarit

Khoảng 200 năm trước, hai nhà khoa học Pháp là Clô-zi-ut (Clausius) và Cla-pay-rông (Clapeyron) đã thấy rằng áp lực P của hơi nước (tính bằng milimét thủy ngân, viết tắt là mmHg) gây ra khi nó chiếm khoảng trống phía trên của mặt nước chứa trong một bình kín được tính theo công thức: \(P = a{.10^{\frac{k}{{t + 273}}}}\) , trong đó t là nhiệt độ C của nước, a và k là những hằng số. Cho biết k ≈ −2258,624
a) Tính a biết rằng khi nhiệt độ của nước là 100⁰C thì áp lực của hơi nước là 760 mmHg (tính chính xác đến hàng phần chục).
b) Tính áp lực của hơi nước khi nhiệt độ của nước là 40⁰C (tính chính xác đến hàng phần chục).

Hưỡng dẫn giải:

Câu a:

Khi nhiệt độ của nước là t = 100⁰C thì P = 760. Do đó ta có phương trình (ẩn a) \(760 = a{.10^{\frac{{ - 2258,624}}{{373}}}}\)

Từ đó ta có \(a \approx 86318884,4\)

Câu b:

\(P = 86318884,{4.10^{\frac{{ - 2258,624}}{{313}}}} \approx 52,5\)

---

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{_{x \to 0}} \frac{{{e^2} - {e^{3x}} + 2}}{x}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{_{x \to 0}} \frac{{{e^{2x}} - {e^{5x}}}}{x}\)

Hưỡng dẫn giải:

Câu a:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^2} - {e^{3x + 2}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^2}\left( {1 - {3^{3x}}} \right)}}{x} =  - 3{e^2}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{3x}} - 1}}{{3x}} =  - 3{e^2}\)

Câu b: 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{2x}} - {e^{5x}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{{e^{2x}} - 1}}{x} - \frac{{{e^{5x}} - 1}}{x}} \right) = 2 - 5 =  - 3\)

---

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)y = \left( {x - 1} \right){e^{2x}}\\
b)y = {x^2}.\sqrt {{e^{4x}} + 1} \\
c)y = \frac{1}{2}\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)\\
d)y = \frac{1}{2}({e^x} + {e^{ - x}})
\end{array}\)

Hưỡng dẫn giải:

Câu a:

\(y\prime  = {e^{2x}} + (x - 1).2{e^{2x}} = (2x - 1).{e^{2x}}\)

Câu b:

\(y' = 2x\sqrt {{e^{4x}} + 1}  + {x^2}.\frac{{4{e^{4x}}}}{{2\sqrt {{e^{4x}} + 1} }} = \frac{{2x\left[ {\left( {x + 1} \right){e^{4x}} + 1} \right]}}{{\sqrt {{e^{4x}} + 1} }}\)

Câu c:

\(y' = \frac{1}{2}\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)\)

Câu d:

\(y' = \frac{1}{2}({e^x} - {e^{ - x}})\)

---

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên R?

a)  \(y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}\)

b) \(y = {\left( {\frac{3}{{\sqrt 2  + \sqrt 3 }}} \right)^x}\)

Hưỡng dẫn giải:

Câu a:

Hàm số \(y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}\) đồng biến vì \({\frac{\pi }{3} > 1}\)

Câu b:

Hàm số \(y = {\left( {\frac{3}{{\sqrt 2  + \sqrt 3 }}} \right)^x}\) nghịch biến vì \(\frac{3}{{\sqrt 2  + \sqrt 3 }} = 3\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right) < 1\)

---

Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\)

b) \(y = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}\)

Hưỡng dẫn giải:

Câu a:

TXĐ: D = R

\(a = \sqrt 2  > 1\) hàm số \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\) đồng biến trên R

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Câu b:

TXĐ: D = R

\(a = \frac{2}{3} < 0\) hàm số \(y = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}\) nghịch biến trên R

Bảng giá trị:

Đồ thị:

---

Sử dụng công thức \(L\left( {dB} \right) = 10\log \frac{I}{{{I_0}}}\) (xem bài đọc thêm “Lôgarit trong một số công thức đo lường “ tr.99), hãy tính gần đúng, chính xác đến hàng đơn vị, độ lớn dB của âm thanh có tỉ số \(\frac{I}{{{I_0}}}\) cho bảng sau rồi điền vào cột còn trống:

STT	Loại âm thanh	\(\frac{I}{{{I_0}}}\)	Độ lớn (L)
1	Ngưỡng nghe	1
2	Nhạc êm dịu	400
3	Nhạc mạnh phát ra từ loa	6,8.108
4	Tiếng máy bay phản lực	2,3.1012
5	Ngưỡng đau tai	1013

Hưỡng dẫn giải:

STT	Loại âm thanh	\(\frac{I}{{{I_0}}}\)	Độ lớn (L)
1	Ngưỡng nghe	1	0 dB
2	Nhạc êm dịu	400	36 dB
3	Nhạc mạnh phát ra từ loa	6,8.108	88 dB
4	Tiếng máy bay phản lực	2,3.1012	124 dB
5	Ngưỡng đau tai	1013	130 dB

---

Tìm các giới hạn sau:

a) \(li{m_{x \to 0}}\frac{{ln(1 + 3x)}}{x}\)

b) \(li{m_{x \to 0}}\frac{{ln(1 + {x^2})}}{x}\)

Hưỡng dẫn giải:

Câu a:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + 3x} \right)}}{x} = 3.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + 3x} \right)}}{{3x}} = 3\)

Câu b:

Vì \(li{m_{x \to 0}}\frac{{ln(1 + {x^2})}}{{{x^2}}}\) = 1 nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + {x^2}} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\frac{{\ln \left( {1 + {x^2}} \right)}}{{{x^2}}} = 0.1 = 0\)

---

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)y = \left( {3x - 2} \right){\ln ^2}x\\
b)y = \sqrt {{x^2} + 1} \ln {x^2}\\
c)y = x.\ln \frac{1}{{1 + x}}\\
d)y = \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{x}
\end{array}\)

Hưỡng dẫn giải:

Câu a:

\(y' = 3{\ln ^2}x + \left( {3x - 2} \right).\frac{{2\ln x}}{x} = 3{\ln ^2}x + \frac{{2\left( {3x - 2} \right)\ln x}}{x}\)

Câu b:

\(y' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\ln {x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} .\frac{{2x}}{{{x^2}}} = \frac{{x\ln {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}\)

Câu c:

\(y' = \ln \frac{1}{{1 + x}} + x.\frac{{ - \frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + x}}}} =  - \ln \left( {1 + x} \right) - \frac{x}{{x + 1}}\)

Câu d:

\(y' = \frac{{\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}.x - \ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2}}} = \frac{2}{{{x^2} + 1}} - \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2}}}\)

---

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên khoảng xác định của nó?

a)  \(y = {\log _{\frac{2}{e}}}x\)

b) \(y = {\log _a}x\) với \(a = \frac{1}{{3\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)}}\)

Hưỡng dẫn giải:

Câu a:

Vì \(\frac{2}{e} < 1\) nên hàm số \(y = {\log _{\frac{2}{e}}}x\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Câu b:

Vì \(a = \frac{1}{{3\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)}} = \frac{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}{3} > 1\) nên hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên  \(\left( {0; + \infty } \right)\)

---

Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = {\log _{\sqrt 2 }}x\)

b) \(y = {\log _{\frac{2}{3}}}x\)

Hưỡng dẫn giải:

Câu a:

TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)

\(a = \sqrt 2  > 1\) hàm số \(y = {\log _{\sqrt 2 }}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Bảng giá trị:

Câu b:

TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)

\(a = \frac{2}{3} < 1\) nên hàm số \(y = {\log _{\frac{2}{3}}}x\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Bảng giá trị:

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 2 Bài 5 Hàm số mũ và hàm số logarit được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!