Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 2 Bài 1 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) Với số thực a và các số nguyên m, n, ta có: \({a^m}.{a^n} = {a^{m.n}};\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\)

b) Với hai số thực a, b cùng khác 0 và số nguyên n, ta có:

\({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}.{b^n};{\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\)

c) Với hai số thực a, b thỏa mãn 0 < a < b và số nguyên n, ta có aⁿ < bⁿ

d) Với số thực a khác 0 và hai số nguyên m, n, ta có: Nếu m > n thì a^m > aⁿ

Hướng dẫn giải:

a) Sai.

b) Đúng.

c) Sai. Ví dụ a⁰ = b⁰

d) Sai (ví dụ 3 > 2 nhưng \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\)

---

Xét khẳng định: “Với số thực a và hai số hữu tỉ r, s, ta có \({\left( {{a^r}} \right)^s} = {a^{rs}}\)

Với điều kiện nào trong các điều kiện sau thì khẳng định trên đúng?

(A) a bất kì          (B) a ≠ 0               

(C) a > 0                (D) a < 1.

Hướng dẫn giải:

Trả lời: (C) đúng

---

Viết các số sau dưới dạng số nguyên hay phân số tối giản:

\({7^{ - 1}}.14;\frac{4}{{{3^{ - 2}}}};{\left( {\frac{4}{5}} \right)^{ - 2}};\frac{{{{\left( { - 18} \right)}^2}.5}}{{{{15}^2}.3}}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}
{7^{ - 1}}.14 = \frac{{14}}{7} = 2\\
\frac{4}{{{3^{ - 2}}}} = {4.3^2} = 36\\
{\left( {\frac{4}{5}} \right)^{ - 2}} = {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} = \frac{{25}}{{16}}\\
\frac{{{{\left( { - 18} \right)}^2}.5}}{{{{15}^2}.3}} = \frac{{{{18}^2}.5}}{{{5^2}{{.3}^3}}} = \frac{{{2^2}{{.5.3}^4}}}{{{5^2}{{.3}^3}}} = \frac{{{2^3}.3}}{5} = \frac{{12}}{5}
\end{array}\)

---

Thực hiện phép tính:

a) \({81^{ - 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{\frac{{ - 1}}{3}}} - {\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{\frac{{ - 3}}{5}}};\)

b) \(0,{001^{\frac{{ - 1}}{3}}} - {\left( { - 2} \right)^{ - 2}}{.64^{\frac{2}{3}}} - {8^{ - 1\frac{1}{3}}} + {\left( {{9^0}} \right)^2}\)

c) \({27^{\frac{2}{3}}} + {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} - {25^{0,5}}\)

d) \({( - 0,5)^{ - 4}} - {625^{0,25}} - {\left( {2\frac{1}{4}} \right)^{ - 1\frac{1}{2}}} + 19.{\left( { - 3} \right)^{ - 3}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
{81^{ - 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{\frac{{ - 1}}{3}}} - {\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{\frac{{ - 3}}{5}}} = {({3^4})^{\frac{{ - 3}}{4}}} + {\left( {{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^3}} \right)^{ - \frac{1}{3}}} - {\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^5}} \right)^{\frac{{ - 3}}{5}}}\\
 = {(3)^{ - 3}} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ - 1}} - \left( {{{\frac{1}{2}}^{ - 3}}} \right) = \frac{1}{{27}} + 5 - 8 = \frac{1}{{27}} - 3 = \frac{{ - 80}}{{27}}
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
0,{001^{\frac{{ - 1}}{3}}} - {\left( { - 2} \right)^{ - 2}}{.64^{\frac{2}{3}}} - {8^{ - 1\frac{1}{3}}} + {\left( {{9^0}} \right)^2} = {\left( {{{10}^{ - 3}}} \right)^{ - \frac{1}{3}}} - {2^{ - 2}}.{\left( {{2^6}} \right)^{\frac{2}{3}}} - {\left( {{2^3}} \right)^{ - \frac{4}{3}}} + 1\\
 = 10 - {2^2} - {2^{ - 4}} + 1 = 7 - \frac{1}{{16}} = \frac{{111}}{{16}}
\end{array}\)

Câu c:

\({27^{\frac{2}{3}}} + {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} - {25^{0,5}} = {({3^3})^{\frac{2}{3}}} + {({2^{ - 4}})^{ - \frac{3}{4}}} - {({5^2})^{\frac{1}{2}}} = {3^2} + {2^3} - 5 = 12\)

Câu d:

\(\begin{array}{l}
{( - 0,5)^{ - 4}} - {625^{0,25}} - {\left( {2\frac{1}{4}} \right)^{ - 1\frac{1}{2}}} + 19.{\left( { - 3} \right)^{ - 3}} = {\left( {{{\left( { - 2} \right)}^{ - 1}}} \right)^{ - 4}} - {\left( {{5^4}} \right)^{\frac{1}{4}}} - {\left( {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \right)^{ - \frac{3}{2}}} + \frac{{19}}{{ - 27}}\\
 = {2^4} - 5 - {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - 3}} - \frac{{19}}{{27}} = 11 - \frac{8}{{27}} - \frac{{19}}{{27}} = 10.
\end{array}\)

---

Đơn giản biểu thức ( với a, b là những số dương)

a) \(\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}}\)

b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{3}}} - {a^{\frac{7}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{3}}} - {a^{\frac{4}{3}}}}} - \frac{{{a^{ - \frac{1}{3}}} - {a^{\frac{5}{3}}}}}{{{a^{\frac{2}{3}}} + {a^{ - \frac{1}{3}}}}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}} = \frac{{{a^3}{b^2}}}{{\sqrt[6]{{{a^{12}}{b^6}}}}} = \frac{{{a^3}{b^2}}}{{{a^2}b}} = ab\)

Câu b:

\(\frac{{{a^{\frac{1}{3}}} - {a^{\frac{7}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{3}}} - {a^{\frac{4}{3}}}}} - \frac{{{a^{ - \frac{1}{3}}} - {a^{\frac{5}{3}}}}}{{{a^{\frac{2}{3}}} + {a^{ - \frac{1}{3}}}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\left( {1 - {a^2}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{3}}}\left( {1 - a} \right)}} - \frac{{{a^{ - \frac{1}{3}}}\left( {1 - {a^2}} \right)}}{{{a^{ - \frac{1}{3}}}\left( {a + 1} \right)}} = \left( {1 + a} \right) - \left( {1 - a} \right) = 2a\)

---

So sánh các số

a) \(\sqrt 2 \) và \(\sqrt[3]{3}\)

b) \(\sqrt 3  + \sqrt[3]{{30}}\) và \(\sqrt[3]{{63}}\)

c) \(\sqrt[3]{7} + \sqrt {15} \) và \(\sqrt {10}  + \sqrt[3]{{28}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: \({\left( {\sqrt 2 } \right)^6} = {2^3} = 8;{\left( {\sqrt[3]{3}} \right)^6} = {3^2} = 9\)

Do 9 > 8 nên ta có \({\left( {\sqrt 2 } \right)^6} < {\left( {\sqrt[3]{3}} \right)^6}\) nên \(\sqrt 2 \) < \(\sqrt[3]{3}\)

Câu b:

\(\sqrt 3  + \sqrt[3]{{30}} > 1 + \sqrt[3]{{27}} = 4 = \sqrt[3]{{64}} > \sqrt[3]{{63}}\)

Câu c:

\(\sqrt[3]{7} + \sqrt {15}  < 2 + 4 = 3 + 3 < \sqrt {10}  + \sqrt[3]{{28}}\)

---

Chứng minh \(\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} = 2\)

Hướng dẫn giải:

Đặt \(x = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
{x^3} = {\left( {\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}} \right)^3}\\
 = 7 + 5\sqrt 2  + 7 - 5\sqrt 2  + 3.\sqrt[3]{{{{\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)}^2}}}.\sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} + 3.\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }}.\sqrt[3]{{{{\left( {7 - 5\sqrt 2 } \right)}^2}}}\\
 = 14 - 3\left( {\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}} \right) = 14 - 3x
\end{array}\)

Từ đó suy ra: \({x^3} + 3x - 14 = 0(1)\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) (Vì  \({x^2} + 2x + 7 > 0\)

Vậy \(\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} = 2\)

---

Đơn giản biểu thức

a) \(\frac{{\sqrt a  - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt a  + \sqrt[4]{{ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\)

b) \(\frac{{a - b}}{{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}} - \frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}\)

c) \(\left( {\frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right):{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\)

d) \(\frac{{a - 1}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}}}.\frac{{\sqrt a  + \sqrt[4]{a}}}{{\sqrt a  + 1}}.{a^{\frac{1}{4}}} + 1\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\frac{{\sqrt a  - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt a  + \sqrt[4]{{ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}} = \frac{{\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} \right)}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt[4]{a}\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\\
 = \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{b}
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\frac{{a - b}}{{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}} - \frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} = \frac{{{{\left( {\sqrt[3]{a}} \right)}^3} - {{\left( {\sqrt[3]{b}} \right)}^3}}}{{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}} - \frac{{{{\left( {\sqrt[3]{a}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[3]{b}} \right)}^3}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}\\
 = \sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}} - \left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right) = 2\sqrt[3]{{ab}}
\end{array}\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
\left( {\frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right):{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2} = \left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right):{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\\
 = \left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} - 2\sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right):{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\\
 = {\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2} = 1
\end{array}\)

Câu d:

\(\begin{array}{l}
\frac{{a - 1}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}}}.\frac{{\sqrt a  + \sqrt[4]{a}}}{{\sqrt a  + 1}}.{a^{\frac{1}{4}}} + 1 = \frac{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}}{{\sqrt a .\left( {\sqrt[4]{a} + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt[4]{a}\left( {\sqrt[4]{a} + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}.\sqrt[4]{a} + 1\\
 = \sqrt a  - 1 + 1 = \sqrt a 
\end{array}\)

---

Từ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, chứng minh:

\(\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b},\left( {a \ge 0,b \ge 0} \right)\), n nguyên dương

Hướng dẫn giải:

Theo tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, ta có:

\({\left( {\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}} \right)^n} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^n}.{\left( {\sqrt[n]{b}} \right)^n} = ab\)

Do đó theo định nghĩa căn bậc n của một số, ta có \(\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}\)

---

Chứng minh

a) \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  = 2\)

b) \(\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }} = 3\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: \(4 \pm 2\sqrt 3  = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \pm 2\sqrt 3  + 1 = {\left( {\sqrt 3  \pm 1} \right)^2}\)

nên \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  = \left( {\sqrt 3  + 1} \right) - \left( {\sqrt 3  - 1} \right) = 2\) 

Câu b:

Đặt \(x = \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}\)

\(\begin{array}{l}
{x^3} = {\left( {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}} \right)^3}\\
 = 9 + \sqrt {80}  + 9 - \sqrt {80}  + \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}.\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}x\\
 = 18 + 3\sqrt[3]{{81 - 80}}.x = 18 + 3x
\end{array}\)

Do đó \({x^3} - 3x - 18 = 0\left( * \right)\)

Mà \({x^3} - 3x - 18 = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 6} \right)\) nên từ phương trình đã cho suy ra x = 3 (vì \({x^2} + 3x + 6 > 0,\forall x\))

Vậy \(\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }} = 3\)

---

So sánh số

a) \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - \frac{5}{6}}}\) và \(\sqrt[3]{{{3^{ - 1}}\sqrt[4]{{\frac{1}{3}}}}}\)

b) 3⁶⁰⁰ và 5⁴⁰⁰

c) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \frac{5}{7}}}\) và \(\sqrt 2 {.2^{\frac{3}{{14}}}}\)

d) 730 và 440

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - \frac{5}{6}}} = {3^{ - \frac{5}{{12}}}}\) và \(\sqrt[3]{{{3^{ - 1}}\sqrt[4]{{\frac{1}{3}}}}} = \sqrt[3]{{{3^{ - 1}}\frac{1}{{{3^{\frac{1}{4}}}}}}} = \sqrt[3]{{{3^{ - 1}}{3^{\frac{{ - 1}}{4}}}}} = \sqrt[3]{{{3^{ - \frac{5}{4}}}}} = {3^{ - \frac{5}{{12}}}}\)

Vậy \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - \frac{5}{6}}}\) = \(\sqrt[3]{{{3^{ - 1}}\sqrt[4]{{\frac{1}{3}}}}}\)

Câu b:

Ta có:

\({3^{600}} = {({3^3})^{200}} = {27^{200}}\) và \({5^{400}} = {({5^2})^{200}} = {25^{200}}\)

Vậy 3600 > 5400

Câu c:

Ta có: 

\({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \frac{5}{7}}} = {2^{\frac{5}{7}}}\) và \(\sqrt 2 {.2^{\frac{3}{{14}}}} = {2^{\frac{1}{2}}}{.2^{\frac{3}{{14}}}} = {2^{\frac{1}{2} + \frac{3}{{14}}}} = {2^{\frac{5}{7}}}\)

Vậy \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \frac{5}{7}}}\) = \(\sqrt 2 {.2^{\frac{3}{{14}}}}\)

Câu d:

Ta có: \({7^{30}} = {\left( {{7^3}} \right)^{10}} = {343^{10}}\)

\({4^{40}} = {\left( {{4^4}} \right)^{10}} = {256^{10}}\)

Vậy 730 > 440

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 2 Bài 1 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!