YOMEDIA

Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 2 Bài 1 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài tập Toán 12 nâng cao Chương 2 Bài 1 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ được hoc247 biên soạn và tổng hợp, nội dung bám sát theo chương trình SGK Giải tích 12 nâng cao giúp các em học sinh nắm vững phương pháp giải bài tập và ôn tập kiến thức hiệu quả hơn. 

Bài 1 trang 75 SGK Toán 12 nâng cao

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) Với số thực a và các số nguyên m, n, ta có: \({a^m}.{a^n} = {a^{m.n}};\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\)

b) Với hai số thực a, b cùng khác 0 và số nguyên n, ta có:

\({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}.{b^n};{\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\)

c) Với hai số thực a, b thỏa mãn 0 < a < b và số nguyên n, ta có an < bn

d) Với số thực a khác 0 và hai số nguyên m, n, ta có: Nếu m > n thì am > an

Hướng dẫn giải:

a) Sai.

b) Đúng.

c) Sai. Ví dụ a0 = b0

d) Sai (ví dụ 3 > 2 nhưng \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\)


Bài 2 trang 75 SGK Toán 12 nâng cao

Xét khẳng định: “Với số thực a và hai số hữu tỉ r, s, ta có \({\left( {{a^r}} \right)^s} = {a^{rs}}\)

Với điều kiện nào trong các điều kiện sau thì khẳng định trên đúng?

(A) a bất kì          (B) a ≠ 0               

(C) a > 0                (D) a < 1.

Hướng dẫn giải:

Trả lời: (C) đúng


Bài 3 trang 76 SGK Toán 12 nâng cao

Viết các số sau dưới dạng số nguyên hay phân số tối giản:

\({7^{ - 1}}.14;\frac{4}{{{3^{ - 2}}}};{\left( {\frac{4}{5}} \right)^{ - 2}};\frac{{{{\left( { - 18} \right)}^2}.5}}{{{{15}^2}.3}}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}
{7^{ - 1}}.14 = \frac{{14}}{7} = 2\\
\frac{4}{{{3^{ - 2}}}} = {4.3^2} = 36\\
{\left( {\frac{4}{5}} \right)^{ - 2}} = {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} = \frac{{25}}{{16}}\\
\frac{{{{\left( { - 18} \right)}^2}.5}}{{{{15}^2}.3}} = \frac{{{{18}^2}.5}}{{{5^2}{{.3}^3}}} = \frac{{{2^2}{{.5.3}^4}}}{{{5^2}{{.3}^3}}} = \frac{{{2^3}.3}}{5} = \frac{{12}}{5}
\end{array}\)


Bài 4 trang 76 SGK Toán 12 nâng cao

Thực hiện phép tính:

a) \({81^{ - 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{\frac{{ - 1}}{3}}} - {\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{\frac{{ - 3}}{5}}};\)

b) \(0,{001^{\frac{{ - 1}}{3}}} - {\left( { - 2} \right)^{ - 2}}{.64^{\frac{2}{3}}} - {8^{ - 1\frac{1}{3}}} + {\left( {{9^0}} \right)^2}\)

c) \({27^{\frac{2}{3}}} + {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} - {25^{0,5}}\)

d) \({( - 0,5)^{ - 4}} - {625^{0,25}} - {\left( {2\frac{1}{4}} \right)^{ - 1\frac{1}{2}}} + 19.{\left( { - 3} \right)^{ - 3}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
{81^{ - 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{\frac{{ - 1}}{3}}} - {\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{\frac{{ - 3}}{5}}} = {({3^4})^{\frac{{ - 3}}{4}}} + {\left( {{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^3}} \right)^{ - \frac{1}{3}}} - {\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^5}} \right)^{\frac{{ - 3}}{5}}}\\
 = {(3)^{ - 3}} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ - 1}} - \left( {{{\frac{1}{2}}^{ - 3}}} \right) = \frac{1}{{27}} + 5 - 8 = \frac{1}{{27}} - 3 = \frac{{ - 80}}{{27}}
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
0,{001^{\frac{{ - 1}}{3}}} - {\left( { - 2} \right)^{ - 2}}{.64^{\frac{2}{3}}} - {8^{ - 1\frac{1}{3}}} + {\left( {{9^0}} \right)^2} = {\left( {{{10}^{ - 3}}} \right)^{ - \frac{1}{3}}} - {2^{ - 2}}.{\left( {{2^6}} \right)^{\frac{2}{3}}} - {\left( {{2^3}} \right)^{ - \frac{4}{3}}} + 1\\
 = 10 - {2^2} - {2^{ - 4}} + 1 = 7 - \frac{1}{{16}} = \frac{{111}}{{16}}
\end{array}\)

Câu c:

\({27^{\frac{2}{3}}} + {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} - {25^{0,5}} = {({3^3})^{\frac{2}{3}}} + {({2^{ - 4}})^{ - \frac{3}{4}}} - {({5^2})^{\frac{1}{2}}} = {3^2} + {2^3} - 5 = 12\)

Câu d:

\(\begin{array}{l}
{( - 0,5)^{ - 4}} - {625^{0,25}} - {\left( {2\frac{1}{4}} \right)^{ - 1\frac{1}{2}}} + 19.{\left( { - 3} \right)^{ - 3}} = {\left( {{{\left( { - 2} \right)}^{ - 1}}} \right)^{ - 4}} - {\left( {{5^4}} \right)^{\frac{1}{4}}} - {\left( {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \right)^{ - \frac{3}{2}}} + \frac{{19}}{{ - 27}}\\
 = {2^4} - 5 - {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - 3}} - \frac{{19}}{{27}} = 11 - \frac{8}{{27}} - \frac{{19}}{{27}} = 10.
\end{array}\)


Bài 5 trang 76 SGK Toán 12 nâng cao

Đơn giản biểu thức ( với a, b là những số dương)

a) \(\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}}\)

b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{3}}} - {a^{\frac{7}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{3}}} - {a^{\frac{4}{3}}}}} - \frac{{{a^{ - \frac{1}{3}}} - {a^{\frac{5}{3}}}}}{{{a^{\frac{2}{3}}} + {a^{ - \frac{1}{3}}}}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}} = \frac{{{a^3}{b^2}}}{{\sqrt[6]{{{a^{12}}{b^6}}}}} = \frac{{{a^3}{b^2}}}{{{a^2}b}} = ab\)

Câu b:

\(\frac{{{a^{\frac{1}{3}}} - {a^{\frac{7}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{3}}} - {a^{\frac{4}{3}}}}} - \frac{{{a^{ - \frac{1}{3}}} - {a^{\frac{5}{3}}}}}{{{a^{\frac{2}{3}}} + {a^{ - \frac{1}{3}}}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\left( {1 - {a^2}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{3}}}\left( {1 - a} \right)}} - \frac{{{a^{ - \frac{1}{3}}}\left( {1 - {a^2}} \right)}}{{{a^{ - \frac{1}{3}}}\left( {a + 1} \right)}} = \left( {1 + a} \right) - \left( {1 - a} \right) = 2a\)


Bài 6 trang 76 SGK Toán 12 nâng cao

So sánh các số

a) \(\sqrt 2 \) và \(\sqrt[3]{3}\)

b) \(\sqrt 3  + \sqrt[3]{{30}}\) và \(\sqrt[3]{{63}}\)

c) \(\sqrt[3]{7} + \sqrt {15} \) và \(\sqrt {10}  + \sqrt[3]{{28}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: \({\left( {\sqrt 2 } \right)^6} = {2^3} = 8;{\left( {\sqrt[3]{3}} \right)^6} = {3^2} = 9\)

Do 9 > 8 nên ta có \({\left( {\sqrt 2 } \right)^6} < {\left( {\sqrt[3]{3}} \right)^6}\) nên \(\sqrt 2 \) < \(\sqrt[3]{3}\)

Câu b:

\(\sqrt 3  + \sqrt[3]{{30}} > 1 + \sqrt[3]{{27}} = 4 = \sqrt[3]{{64}} > \sqrt[3]{{63}}\)

Câu c:

\(\sqrt[3]{7} + \sqrt {15}  < 2 + 4 = 3 + 3 < \sqrt {10}  + \sqrt[3]{{28}}\)


Bài 7 trang 76 SGK Toán 12 nâng cao

Chứng minh \(\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} = 2\)

Hướng dẫn giải:

Đặt \(x = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
{x^3} = {\left( {\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}} \right)^3}\\
 = 7 + 5\sqrt 2  + 7 - 5\sqrt 2  + 3.\sqrt[3]{{{{\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)}^2}}}.\sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} + 3.\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }}.\sqrt[3]{{{{\left( {7 - 5\sqrt 2 } \right)}^2}}}\\
 = 14 - 3\left( {\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}} \right) = 14 - 3x
\end{array}\)

Từ đó suy ra: \({x^3} + 3x - 14 = 0(1)\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) (Vì  \({x^2} + 2x + 7 > 0\)

Vậy \(\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} = 2\)


Bài 8 trang 78 SGK Toán 12 nâng cao

Đơn giản biểu thức

a) \(\frac{{\sqrt a  - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt a  + \sqrt[4]{{ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\)

b) \(\frac{{a - b}}{{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}} - \frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}\)

c) \(\left( {\frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right):{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\)

d) \(\frac{{a - 1}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}}}.\frac{{\sqrt a  + \sqrt[4]{a}}}{{\sqrt a  + 1}}.{a^{\frac{1}{4}}} + 1\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\frac{{\sqrt a  - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt a  + \sqrt[4]{{ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}} = \frac{{\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} \right)}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt[4]{a}\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\\
 = \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{b}
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\frac{{a - b}}{{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}} - \frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} = \frac{{{{\left( {\sqrt[3]{a}} \right)}^3} - {{\left( {\sqrt[3]{b}} \right)}^3}}}{{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}} - \frac{{{{\left( {\sqrt[3]{a}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[3]{b}} \right)}^3}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}\\
 = \sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}} - \left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right) = 2\sqrt[3]{{ab}}
\end{array}\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
\left( {\frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right):{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2} = \left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right):{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\\
 = \left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} - 2\sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right):{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\\
 = {\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2} = 1
\end{array}\)

Câu d:

\(\begin{array}{l}
\frac{{a - 1}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}}}.\frac{{\sqrt a  + \sqrt[4]{a}}}{{\sqrt a  + 1}}.{a^{\frac{1}{4}}} + 1 = \frac{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}}{{\sqrt a .\left( {\sqrt[4]{a} + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt[4]{a}\left( {\sqrt[4]{a} + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}.\sqrt[4]{a} + 1\\
 = \sqrt a  - 1 + 1 = \sqrt a 
\end{array}\)


Bài 9 trang 78 SGK Toán 12 nâng cao

Từ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, chứng minh:

\(\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b},\left( {a \ge 0,b \ge 0} \right)\), n nguyên dương

Hướng dẫn giải:

Theo tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, ta có:

\({\left( {\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}} \right)^n} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^n}.{\left( {\sqrt[n]{b}} \right)^n} = ab\)

Do đó theo định nghĩa căn bậc n của một số, ta có \(\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}\)


Bài 10 trang 78 SGK Toán 12 nâng cao

Chứng minh

a) \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  = 2\)

b) \(\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }} = 3\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: \(4 \pm 2\sqrt 3  = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \pm 2\sqrt 3  + 1 = {\left( {\sqrt 3  \pm 1} \right)^2}\)

nên \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  = \left( {\sqrt 3  + 1} \right) - \left( {\sqrt 3  - 1} \right) = 2\) 

Câu b:

Đặt \(x = \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}\)

\(\begin{array}{l}
{x^3} = {\left( {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}} \right)^3}\\
 = 9 + \sqrt {80}  + 9 - \sqrt {80}  + \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}.\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}x\\
 = 18 + 3\sqrt[3]{{81 - 80}}.x = 18 + 3x
\end{array}\)

Do đó \({x^3} - 3x - 18 = 0\left( * \right)\)

Mà \({x^3} - 3x - 18 = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 6} \right)\) nên từ phương trình đã cho suy ra x = 3 (vì \({x^2} + 3x + 6 > 0,\forall x\))

Vậy \(\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }} = 3\)


Bài 11 trang 78 SGK Toán 12 nâng cao

So sánh số

a) \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - \frac{5}{6}}}\) và \(\sqrt[3]{{{3^{ - 1}}\sqrt[4]{{\frac{1}{3}}}}}\)

b) 3600 và 5400

c) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \frac{5}{7}}}\) và \(\sqrt 2 {.2^{\frac{3}{{14}}}}\)

d) 730 và 440

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - \frac{5}{6}}} = {3^{ - \frac{5}{{12}}}}\) và \(\sqrt[3]{{{3^{ - 1}}\sqrt[4]{{\frac{1}{3}}}}} = \sqrt[3]{{{3^{ - 1}}\frac{1}{{{3^{\frac{1}{4}}}}}}} = \sqrt[3]{{{3^{ - 1}}{3^{\frac{{ - 1}}{4}}}}} = \sqrt[3]{{{3^{ - \frac{5}{4}}}}} = {3^{ - \frac{5}{{12}}}}\)

Vậy \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - \frac{5}{6}}}\) = \(\sqrt[3]{{{3^{ - 1}}\sqrt[4]{{\frac{1}{3}}}}}\)

Câu b:

Ta có:

\({3^{600}} = {({3^3})^{200}} = {27^{200}}\) và \({5^{400}} = {({5^2})^{200}} = {25^{200}}\)

Vậy 3600 > 5400

Câu c:

Ta có: 

\({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \frac{5}{7}}} = {2^{\frac{5}{7}}}\) và \(\sqrt 2 {.2^{\frac{3}{{14}}}} = {2^{\frac{1}{2}}}{.2^{\frac{3}{{14}}}} = {2^{\frac{1}{2} + \frac{3}{{14}}}} = {2^{\frac{5}{7}}}\)

Vậy \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \frac{5}{7}}}\) = \(\sqrt 2 {.2^{\frac{3}{{14}}}}\)

Câu d:

Ta có: \({7^{30}} = {\left( {{7^3}} \right)^{10}} = {343^{10}}\)

\({4^{40}} = {\left( {{4^4}} \right)^{10}} = {256^{10}}\)

Vậy 730 > 440

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 2 Bài 1 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!

 

YOMEDIA