Ứng dụng đơn điệu của hàm số trong tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right]\).

Nếu f đồng biến trên đoạn \(\left[ a;b \right]\) thì \(\underset{x\in \left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,f=f\left( a \right), \underset{x\in \left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,f=f\left( b \right)\).

Nếu f nghịch biến trên đoạn \(\left[ a;b \right]\) thì \(\underset{x\in \left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,f=f\left( b \right),\underset{x\in \left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,f=f\left( a \right)\).

Ví dụ: Cho x,y là các số không âm thoả mãn x+y=1.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}\).

Lời giải.

\(P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{{{x}^{2}}+x+{{y}^{2}}+y}{xy+x+y+1}=\frac{{{\left( x+y \right)}^{2}}-2xy+x+y}{xy+x+y+1}=\frac{2-2xy}{2+xy}\)

(vì x+y=1). Đặt \(t=xy\Rightarrow 0\le t\le {{\left( \frac{x+y}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}\).

Xét hàm số \(\left( t \right)=\frac{2-2t}{2+t},t\in \left[ 0;\frac{1}{4} \right]\). Ta có \(f'\left( t \right)=\frac{-6}{{{\left( 2+t \right)}^{2}}}<0,\forall t\in \left[ 0;\frac{1}{4} \right]\)

Vậy \(\underset{0\le t\le \frac{1}{4}}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=f\left( \frac{1}{4} \right)=\frac{2}{3},\underset{0\le t\le \frac{1}{4}}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=f\left( 0 \right)=1\)

\(\min P=\frac{2}{3}\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\) và \(\max P=1\) khi x=0,y=1 hoặc x=1,y=0

Bài 1: Biết rằng (x;y) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l} x + y = m\\ {x^2} + {y^2} = - {m^2} + 6 \end{array} \right.\). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(F = xy - 6\left( {x + y} \right)\).

Lời giải.

Từ hệ \(\left\{ \begin{array}{l} x + y = m\\ {x^2} + {y^2} = - {m^2} + 6 \end{array} \right.\) tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l} x + y = m\\ x.y = {m^2} - 3 \end{array} \right.\)

Theo định lý Vi – et  đảo thì x,y là các nghiệm của phương trình \({{t}^{2}}-tu+{{m}^{2}}-3=0 \left( * \right)\). Phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm khi \(\Delta \ge 0\) nghĩa là \(-3{{m}^{2}}+12\ge 0\Leftrightarrow  -2\le m\le 2\).

Với \(-2\le m\le 2\) thì hệ cho có nghiệm \(\left( x;y \right)\) và \(F={{m}^{2}}-3m-6\)

Dễ thấy, F'=2m-3<0 với mọi \(m\in \left( -2;2 \right)\) suy ra F nghịch biến trên đoạn \(\left[ -2;2 \right]\) và \(F\left( -2 \right)=13, F\left( 2 \right)=-11\).

Vậy, \(\min F=-11\) khi m=2 và \(\max F=13\) khi m=-2.

Bài 2: Biết  rằng (x;y) là các nghiệm của hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l} x + y = m\\ {x^2} + {y^2} = {m^2} - 4m + 6\\ x \ge 0,y \ge 0;{ }0 \le m \le 2 \end{array} \right.\). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất ( nếu có ) của : \(T = {\left( {x + y} \right)^3} + 6xy\left( {x + y} \right) + 39m + 2\)

Lời giải.

Đặt S = x + y,P = xy. Hệ cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l} S = m\\ P = 2m - 3 \end{array} \right.\).

Hệ có nghiệm khi phương trình: \({t^2} - mt + 2m - 3 = 0\) có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} {t_1},{t_2} \ge 0\\ 0 \le m \le 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \frac{3}{2} \le m \le 2\) thỏa bài toán.

Khi đó \(T={{m}^{3}}+6\left( 2m-3 \right)m+39m+2={{m}^{3}}+12{{m}^{2}}+21m+2\)

Ta xét hàm số \(f\left( m \right)={{m}^{3}}+12{{m}^{2}}+21m+2\) trên đoạn \(\left[ \frac{3}{2};2 \right]\)

Ta có \(f'\left( m \right)=3{{m}^{2}}+24m+21>0,\mathsf{ }\forall m\in \left( \frac{3}{2};2 \right)\Rightarrow f\left( m \right)\) luôn đồng biến trên đoạn \(\left[ \frac{3}{2};2 \right]\) và \(f\left( \frac{3}{2} \right)=\frac{511}{8},\mathsf{ }f\left( 2 \right)=100\)

Vậy: \(\min T=\underset{m\in \left[ \frac{3}{2};2 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( m \right)=\frac{511}{8}\) khi \(m=\frac{3}{2}\) và \(\max T=\underset{m\in \left[ \frac{3}{2};2 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( m \right)=100\) khi m=2.

Bài 3: Cho a,b,c,d là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  \(A=\frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}+\frac{\sqrt[4]{abcd}}{a+b+c+d}\)

Lời giải.

Đặt \(t=\frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}\)

Áp dụng BĐT trung bình cộng – trung bình nhân cho 2 số dương, ta có:

\(a+b+c+d\ge 2\sqrt{ab}+2\sqrt{cd}\ge 4\sqrt[4]{abcd}\) suy ra \(\frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}\ge 4\) tức \(t\ge 4\).

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=d. Bài toán quy về “ Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A\left( t \right)=t+\frac{1}{t}\) với \(t\ge 4\)”.

Dễ thấy, \(t\ge 4\) thì \(A\left( t \right)\) đồng biến và \(A\left( 4 \right)=\frac{17}{4}\) đạt tại t=4.

Bài 4: Cho x, y, z là 3 số thực không âm thỏa mãn điều kiện x+y+z=3. Chứng minh rằng: \(xyz+xy+yz+zx\le 4\).

Lời giải.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(x\le y\le z\) và x+y+z=3 suy ra \(1\le x\le 3\).

Áp dụng Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân: \(yz\le {{\left( \frac{y+z}{2} \right)}^{2}}\)

Đặt \(A=xyz+xy+yz+zx\), suy ra \(A\le x{{\left( \frac{y+z}{2} \right)}^{2}}{{\left( \frac{y+z}{2} \right)}^{2}}+\left( y+z \right)x\)

Hay \(A\le x{{\left( \frac{3-x}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3-x}{2} \right)}^{2}}+x\left( 3-x \right)=\frac{1}{4}\left( {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+15x+9 \right)\).

Xét \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+15x+9\), với \(1\le x\le 3\).

Ta có: \(f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-18x+15<0\) với mọi \(x\in \left( 1;3 \right)\), suy ra hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên đoạn \(\left[ 1;3 \right]\).

Với \(\forall x\in \left[ 1;3 \right]:\mathsf{ }f\left( x \right)\le f\left( 1 \right)=16\) suy ra \(A\le \frac{1}{4}f\left( x \right)\) hay \(A\le 4\).

Bài 5: Cho 2 số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện \(x\ge 1,y\ge 1\) và \(3\left( x+y \right)=4xy\). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P={{x}^{3}}+{{y}^{3}}+3\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)\).

Lời giải.

Ta có: \(4xy=3\left( x+y \right)\ge 6\sqrt{xy}\Rightarrow xy\ge \frac{9}{4}\).

Hơn nữa vì \(x\ge 1,y\ge 1\) nên \(\left( x-1 \right)\left( y-1 \right)\ge 0\) tức \(xy+1\ge x+y\Rightarrow xy+1\ge \frac{3}{4}xy\) hay \(xy\le 3\).

Vậy \(\frac{9}{4}\le xy\le 3, P=\frac{64}{27}{{\left( xy \right)}^{3}}-4{{\left( xy \right)}^{2}}-\frac{6}{xy}+\frac{16}{3}\).

\(\min P=\frac{113}{12}\) khi \(\left( x;y \right)=\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2} \right)\) và \(\max P=\frac{94}{3}\) khi \(\left( x;y \right)=\left( 1;3 \right), \left( 3;1 \right)\).

 

Trên đây là toàn bộ nội dung Ứng dụng đơn điệu của hàm số trong tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Ứng dụng của đơn điệu trong giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình

• Ứng dụng đơn điệu của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức

Chúc các em học tập tốt!