Phương pháp xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu trên khoảng có độ dài k cho trước

+ Tìm TXĐ

+ Tính y’

+ Hàm số có khoảng đồng biến (hoặc nghịch biến) \(\Leftrightarrow y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt \({{\text{x}}_{\text{1}}},\text{ }{{\text{x}}_{\text{2}}}\) đồng thời \(\left| {{\text{x}}_{\text{2}}}-{{\text{x}}_{\text{1}}} \right|=k\)

Chú ý:

\(\text{a}{{\text{x}}^{\text{2}}}+\text{bx}+\text{c}=0\) có  2 nghiệm \({{\text{x}}_{\text{1}}},{{\text{x}}_{\text{2}}}\) (giả sử \({{\text{x}}_{\text{1}}}<{{\text{x}}_{\text{2}}}\)) thỏa \({{\text{x}}_{\text{1}}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a},\text{ }{{\text{x}}_{\text{2}}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\)

\(\Rightarrow {{\text{x}}_{\text{2}}}-{{\text{x}}_{\text{1}}}=\frac{\sqrt{\Delta }}{2a}\), trong đó \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac \left| {{\text{x}}_{\text{2}}}-{{\text{x}}_{\text{1}}} \right|=k\Leftrightarrow {{\left( {{\text{x}}_{1}}+{{\text{x}}_{2}} \right)}^{2}}-4{{\text{x}}_{1}}\text{.}{{\text{x}}_{2}}={{k}^{2}}\) (a>0)

Ví dụ 1: Định m để hàm số \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+mx+m\) nghịch biến trên một khoảng có độ dài nhỏ  hơn  1.

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)

Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}+6x+m\)

Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1 \(\Leftrightarrow y'\le 0\] và \(\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|<1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 9 - 3m > 0\\ {S^2} - 4P < 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ 4 - 4m < 1 \end{array} \right. \Rightarrow \frac{3}{4} < m <3 \)

Vậy, với \(\frac{3}{4} < m < 3\) thì hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1

Ví dụ 2. Tìm m để hàm số: \(y={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( m+36 \right)x-5\) nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng \(4\sqrt{2}\).

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định trên \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}-2mx+m+36\) và \(\Delta '={{m}^{2}}-3m-108\)

Dễ thấy \({{a}_{y'}}=3>0\), do đó hàm số đã cho không nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

Nếu m<-9 hoặc m>12 tức \(\Delta '>0\) thì y'=0 có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}}; {{x}_{2}}\). Lập bảng xét dấu, ta thấy y'<0 với \(x\in \left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right)\) suy ra hàm số nghịch biến với \(x\in \left[ {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right]\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng \(4\sqrt{2}\) khi \(\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=4\sqrt{2}\) tức \(\left| 2\frac{\sqrt{{{m}^{2}}-3m-108}}{3} \right|=4\sqrt{2}\), bình phương hai vế và rút gọn ta được phương trình: \({{m}^{2}}-3m-180=0\Leftrightarrow m=-12\) hoặc m=15 (thỏa điều kiện) .

Vậy, với m=-12 hoặc m=15 yêu cầu bài toán được thỏa mãn.

Bài 1: Định m để hàm số \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+mx+m\) nghịch biến trên đoạn có độ dài lớn hơn  1

Bài 2: Định m để hàm số \(y=-2{{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}-1\) đồng biến  trên  đoạn có độ dài lớn hơn  1

Bài 3: Định m để hàm số \(y=\frac{2}{3}{{x}^{3}}+\frac{m-1}{2}{{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}+m \right)x-1\) nghịch biến trên khoảng có độ dài là 3

Bài 4: Định m để hàm số \(y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+(m-1)x+2m-3\) đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1

Bài 5: Tìm m để hàm số \(y=\left( m+1 \right){{x}^{3}}-3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+2mx+4\) đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1.

Bài 6: Tìm m để hàm số \(y={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( m+36 \right)x-5\) nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng \(4\sqrt{2}\)

Bài 7: Tìm m để hàm số \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+mx+m\) nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn \(2\sqrt{2}\)

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

+ Nếu m ≥ 3 thì \({y}'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\), hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) ⇒ m ≥ 3  không thoả mãn.

+ Nếu m < 3 thì \({y}'=0\) có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\,({{x}_{1}}<{{x}_{2}})\). Hàm số nghịch biến trên đoạn \(\left[ {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right]\) với độ dài \(\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\). Ta có: \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2;\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m}{3}\).

Theo bài toán ⇔ d>1 ⇔ \(\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|>1\) ⇔ \({{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}>1\).

Bài 2:

Ta có: \(y'=-6{{x}^{2}}+6mx\) và \(y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc x=m

+ Nếu  m = 0 \(\Rightarrow {y}'\le 0,\,\forall x\in \mathbb{R}\) ⇒ hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) ⇒ m = 0 không thoả 

+ Nếu \(m\ne 0\), \({y}'\ge 0,\forall x\in (0;m)\,\,khi\,\,m>0\,\,\) hoặc \({y}'\ge 0,\forall x\in (m;0)\,\,\,khi\,\,\,m<0\)

Vậy hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right]\) có \(\left| {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right|=1\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l} ({x_1};{x_2}) = (0;m)\\ ({x_1};{x_2}) = (m;0) \end{array} \right.\) và \(\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = 1\)⇔ \(\left[ \begin{array}{l} m - 0 = 1\\ 0 - m = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow m = \pm 1\)

Bài 3:

\(m=-\frac{5}{2}\) hoặc \(m=\frac{7}{2}\).

Bài 4:

* Nếu \(m\le -2\Rightarrow \Delta '\le 0\Rightarrow y'\ge 0\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow \) hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}$ nên hàm số không có khoảng đồng biến.

* Nếu m>-2 \(\Rightarrow y'=0\) có hai nghiệm \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}\) và  \(y'\le 0\Leftrightarrow x\in \left[ {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right] \Rightarrow \) yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|<1 \Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}<1\Leftrightarrow 4+\frac{4(m-1)}{3}<1\Leftrightarrow m<-\frac{5}{4}\).

Bài 5:

Ta có: \(y'=3(m+1){{x}^{2}}-6(m+1)x+2m\)

• \(m=-1\Rightarrow y'=-2<0\) (loại).

• m>-1. Khi đó hàm số luôn có khoảng đồng biến có độ dài lớn hơn 1.

• m<-1. Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow y'=0\) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thỏa \(\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\ge 1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' = 9{(m + 1)^2} - 6m(m + 1) > 0\\ {({x_1} + {x_2})^2} - 4{x_1}{x_2} \ge 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (m + 3)(m + 1) > 0\\ 3 - \frac{{8m}}{{3(m + 1)}} \ge 0 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow m \le - 9\)  (Do m < -1).

Bài 6: \({{m}^{2}}-3m-180=0\Leftrightarrow m=-12\) hoặc m=15 (thỏa điều kiện) .

Bài 7: \({{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}<8\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}<8\Leftrightarrow 4-\frac{4}{3}m<8\Leftrightarrow m>-3\).

 

Trên đây là toàn bộ nội dung Phương pháp xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu trên khoảng có độ dài k cho trước. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp giải bài tóan tìm m để hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng xác định (α;β)$\left(\alpha ;\beta \right)$, [α;β]

• Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng K=(−∞;α)$\mathbf{K}=\left(-\mathrm{\infty };\alpha \right)$, (β;+∞)$\left(\beta ;+\mathrm{\infty }\right)$, (−∞;α],$\left(-\mathrm{\infty };\alpha \right],$ [β;+∞)

Chúc các em học tập tốt!