Thặng dư bình phương

Chuyên đề này viết về một khái niệm khá thú vị của số học, đó là Thặng dư bình phương. Chuyên đề trình bày một số khái niệm cơ bản, các ví dụ minh họa cùng các ứng dụng của lý thuyết Thặng dư bình phương.

Các bài tập được chuẩn bị tương đối kỹ lưỡng và hạn chế trình bày lại các tính chất, các định lý cùng các bổ đề cơ bản. Vì thế đối   tượng đọc cần có và nằm vững được những kiến thức nhất định về lý thuyết này. Bên cạnh đó cũng phải có các kiến thức về bậc, căn nguyên thủy, số mũ đúng, phương trình đồng dư, hệ thặng dư, định lý phần dư Trung Hoa.

1. Một số tính chất cần  biết.

• Định nghĩa 1: Cho số nguyên dương n, số nguyên a được gọi thặng dư bình phương mod n ( hay số chính phương mod n ) nếu tồn tại số nguyên x sao cho: \({x^2} \equiv a\) (mod n)

• Định nghĩa 2: Giả sử p là một số nguyên tố lẻ, a  là một  số  nguyên. Kí hiệu Legendre ​\(\left( {\frac{a}{p}} \right)\) được xác định như sau:

• Định lý 1 ( tiêu chuẩn Euler ): Cho  p  là một số nguyên tố và  a là một số nguyên. Khi đó ta có: \({a^{\frac{{p - 1}}{2}}} \equiv \left( {\frac{a}{p}} \right)\,\,(\bmod \,\,\,p)\)