Chuyên đề viết phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12

Trong không gian \(Oxyz\) , cho ba điểm \(A\left( {{x_A};{y_A};\,{z_A}} \right), B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) và \(C\left( {{x_C}\,;{y_C}\,;{z_C}} \right)\)

• Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A};{z_B} – {z_A}} \right)\) .

• Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB , \(I\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\) .

• Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC, \(G\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\) .

• Nếu \(\overrightarrow u = \left( {x\,;y\,;z} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow u = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) .

\(\overrightarrow u = \left( {{x_1}\,;{y_1}\,;{z_1}} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow v = \left( {{x_2}\,;{y_2}\,;{z_2}} \right)\,\left( {\overrightarrow v \ne \overrightarrow 0 } \right)\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow u = k\overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = k{x_2}\\{y_1} = k{y_2}\\{z_1} = k{z_2}\end{array} \right.\).

• Nếu 2 vectơ \(\overrightarrow u \) , \(\overrightarrow v \) không cùng phương và \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a \bot \overrightarrow u \\\overrightarrow a \bot \overrightarrow v \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) .

• Đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm A và B thì \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \) hoặc \(\overrightarrow {BA} \) .

• Nếu \(\overrightarrow u \) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) thì \(k\overrightarrow u \,\,\left( {k \ne 0} \right)\) cũng là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

• Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì vectơ chỉ phương của đường thẳng này cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng kia.

• Nếu đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) của đường thẳng \(\Delta \) chính là vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) , tức \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{n_\alpha }} \) .

• Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {{x_0}\,;{y_0}\,;{z_0}} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {a\,;\,b\,;c} \right)\) có phương trình tham số \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) và phương trình chính tắc \(\Delta :\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}\,\,\left( {abc \ne 0} \right).\)

• Điểm M thuộc đường thẳng \(\Delta \) có PTTS \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) thì \(M\left( {{x_0} + at\,;{y_0} + bt\,;{z_0} + ct} \right).\)

• Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\) và \(\left( {\alpha ‘} \right):A’x + B’y + C’z + D’ = 0\)

• Với điều kiện \(A:B:C \ne A’:B’:C’\) . Điều kiện trên chứng tỏ hai mặt phẳng đó cắt nhau. Gọi d là đường thẳng giao tuyến của chúng. Đường thẳng d gồm những điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) vừa thuộc \(\left( \alpha \right)\) vừa thuộc \(\left( {\alpha ‘} \right)\) , nên tọa độ của M là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}Ax + By + Cz + D = 0\\A’x + B’y + C’z + D’ = 0\end{array} \right.\) . Khi đó \(\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n’} } \right]\) với \(\overrightarrow n = \left( {A,B,C} \right)\) và \(\overrightarrow {n’} = \left( {A’,B’,C’} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d

• Một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song hoặc chứa trục \(Ox\) là \(\overrightarrow i = \left( {1\,;0\,;0} \right)\) .

• Một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song hoặc chứa trục Oy là \(\overrightarrow j = \left( {0\,;1\,;0} \right)\) .

• Một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song hoặc chứa trục Oz là \(\overrightarrow k = \left( {0\,;0\,;1} \right)\) .

Ví dụ: Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {1\;;\;2\;;\; – 1} \right);B\left( {2\;;\; – 1\;;\;1} \right)\)có phương trình tham số là

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 – 3t\\z = – 1 + 2t\end{array} \right.\). 

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 – 3t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\). 

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = – 3 + 2t\\z = 2 – t\end{array} \right.\). 

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + 2t\\z = – t\end{array} \right.\).

Lời giải

Chọn A

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1\;;\; – 3\;;\;2} \right)\) là véctơ chỉ phương của đường thẳng AB

Vậy đường thẳng AB đi qua điểm \(A\left( {1\;;\;2\;;\; – 1} \right)\) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {1\;;\; – 3\;;\;2} \right)\) nên phương trình tham số của AB là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 – 3t\\z = – 1 + 2t\end{array} \right.\;\;\left( {\;t \in \mathbb{R}} \right)\)

Câu 1. Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho tam giác ABC có \(A\left( { – 1;3;2} \right), B\left( {2;0;5} \right)\) và \(C\left( {0; – 2;1} \right)\). Phương trình trung tuyến AM của tam giác ABC là.

A. \(\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ – 4}} = \frac{{z + 2}}{1}\). 

B. \(\frac{{x + 1}}{{ – 2}} = \frac{{y – 3}}{{ – 2}} = \frac{{z – 2}}{{ – 4}}\).

C. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 3}}{{ – 4}} = \frac{{z – 2}}{1}\). 

D. \(\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y + 4}}{3} = \frac{{z – 1}}{2}\).

Lời giải

Chọn C

Ta có: \(M\left( {1; – 1;3} \right)\); \(\overrightarrow {AM} = \left( {2; – 4;1} \right)\). Phương trình AM: \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 3}}{{ – 4}} = \frac{{z – 2}}{1}\).

Câu 2. Trong không gian \(Oxyz,\) đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;2;3} \right)\) có phương trình:

A. \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2t\\z = 3t\end{array} \right.\). 

B. \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = – t\\y = – 2t\\z = – 3t\end{array} \right.\). 

C. \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3\end{array} \right.\). 

D. \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3t\\z = 2t\end{array} \right.\).

Lời giải

Chọn B

Vì d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;2;3} \right)\) nên nó cũng có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u’} = \left( { – 1; – 2; – 3} \right) \Rightarrow Ptts\;d:\left\{ \begin{array}{l}x = – t\\y = – 2t\\z = – 3t\end{array} \right..\)

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1; – 2; – 3} \right),B\left( { – 1;4;1} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z + 3}}{2}\). Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và song song với d?

A. \(d:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\). 

B. \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z + 2}}{2}\).

C. \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\). 

D. \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\).

Lời giải:

Chọn C

Gọi I là trung điểm của AB khi đó ta có \(I\left( {0;1; – 1} \right)\).

Ta có \(d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z + 3}}{2}\) suy ra \(\overrightarrow u \left( {1; – 1;2} \right)\) là một vecto chỉ phương của đường thẳng d.

Vậy đương thẳng đi qua điểm I và song sog với d sẽ nhận \(\overrightarrow u \left( {1; – 1;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương. Vậy phương trình của đường thẳng đó là: \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\).

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho ba điểm \(A\left( {1;3;2} \right),\,B\left( {1;2;1} \right),\,C\left( {1;1;3} \right)\). Viết phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)

A. \(\Delta :\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 – 3t}\\{y = 2 – 2t}\\{z = 2 – t}\end{array}} \right.\). 

B. \(\Delta :\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 – 3t}\\{y = 2}\\{z = 2}\end{array}} \right.\). 

C. \(\Delta :\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 – 3t}\\{y = 2 + t}\\{z = 2}\end{array}} \right.\). 

D. \(\Delta :\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 2 – t}\end{array}} \right.\).

Lời giải:

Chọn B

\(\overrightarrow {AB} = \left( {0; – 1; – 1} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {0; – 2;1} \right)\). Tam giác ABC có trọng tâm \(G\left( {1;\,2;\,2} \right)\).

Ta có: \(\Delta \) qua \(G\left( {1;\,2;\,2} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { – 3;\,0;\,0} \right)\).

Do đó: \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 – 3t\\y = 2\\z = 2\end{array} \right.\).

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề viết phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề viết phương trình mặt cầu Toán 12

• Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu hoặc trái dấu Toán 12

Chúc các em học tập tốt!