Bồi dưỡng HSG môn Toán 9 Chuyên đề Căn bậc hai

ÔN THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9

CHUYÊN ĐỀ CĂN BẬC HAI-CĂN BẬC BA

 

A.LÝ THUYẾT

I.CĂN BẬC HAI-ĐỊNH NGHĨA VÀ KÍ HIỆU

            1.Căn bậc hai số học của một số a 0 là một số không âm x có bình phương bằng a.

Kí hiệu x= \(\sqrt a \)

                                        \(x = \sqrt a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ {x^2} = {\left( {\sqrt a } \right)^2} = a \end{array} \right.\)                          

            2.Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0

            3.Với hai số a;b không âm ta có  \(a \prec b \Leftrightarrow \sqrt a \prec \sqrt b \)

II.CĂN THỨC BẬC HAI-ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI-HẰNG ĐẲNG THỨC \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)

            1.Điều kiện để \(\sqrt A \) tồn tại là A ≥0

            2. \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l} A\,\,neuA \ge 0\\ - A\,\,neuA \prec 0 \end{array} \right.\)

III.KHAI PHƯƠNG MỘT TÍCH-NHÂN CÁC CĂN THỨC BẬC HAI

            1.Quy tắc khai phương một tích:

Nếu \(A \ge 0;B \ge 0 \Rightarrow \sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B \)

            2.Quy tắc nhân các căn thức bậc hai:

Nếu \(A \ge 0;B \ge 0 \Rightarrow \sqrt A .\sqrt B = \sqrt {A.B} \)

IV. KHAI PHƯƠNG MỘT THƯƠNG-CHIA CÁC CĂN THỨC BẬC HAI

            1.Quy tắc khai phương một thương:

Nếu \(A \ge 0;B \succ 0 \Rightarrow \sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\)

            2.Quy tắc nhân các căn thức bậc hai: :

Nếu \(A \ge 0;B \succ 0 \Rightarrow \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }} = \sqrt {\frac{A}{B}} \)

VI.BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN CĂN THỨC BẬC HAI

            1.Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn:   

\(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|.\sqrt B \) Với B ≥0

            2. Đưa một thừa số vào trong  dấu căn: 

                        Với  \(A \ge 0;B \ge 0:A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} \)

                        Với  \(A \prec 0;B \ge 0:\,\,A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} \)

            3.Khử mẫu biểu thức lấy căn:  

\(\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt {AB} }}{{\left| B \right|}}\)  Với AB≥ 0  và B ≠0

4.Trục căn thức ở mẫu:

a.Với B \(\succ 0\)  ta có \(\frac{A}{{m\sqrt B }} = \frac{{A\sqrt B }}{{mB}}\)

b. Với A ≥ 0  ; A \( \ne \frac{{{1}}}{{{m^2}}}\)B² ta có  \(\frac{C}{{m\sqrt A \pm B}} = \frac{{C\left( {m\sqrt A \mp B} \right)}}{{{m^2}A - {B^2}}}\)

c. Với \(A \ge 0;B \ge 0\) ;A \( \ne \frac{{{n^2}}}{{{m^2}}}\)B  ta có:

\(\frac{C}{{m\sqrt A \pm n\sqrt B }} = \frac{{C\left( {m\sqrt A \mp n\sqrt B } \right)}}{{{m^2}A - {n^2}B}}\)

VII.THỰC HIỆN PHÉP TÍNH –RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI

\(\begin{array}{l} p\sqrt A - q\sqrt A + r\sqrt A + m\\ = \left( {p + q + r} \right)\sqrt A + m \end{array}\)

Trong đó m,p,q,r \( \in R;A \in {Q^ + }\)

VIII.CĂN BẬC BA

...

---Xem đầy đủ nội dung ở phần xem Online hoặc tải về máy---

B.CÁC VÍ DỤ:

1. Ví dụ 1::Cho biểu thức:

\(A = \left( {\frac{{2x - 1 + \sqrt x }}{{1 - x}} + \frac{{2x\sqrt x + x - \sqrt x }}{{1 + x\sqrt x }}} \right).\frac{{\left( {x - \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x - 1}} - 1\)

      1. Rút gọn biểu thức A

      2. Tìm x  để \(A < - \frac{1}{7}\)

Điều kiện: \(x \ge 0;x \ne \frac{1}{4};x \ne 1\)

Đặt \(\sqrt x = a;a \ge 0 \Rightarrow x = {a^2}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} A = \left( {\frac{{2{a^2} - 1 + a}}{{1 - {a^2}}} + \frac{{2{a^3} + {a^2} - a}}{{1 + {a^3}}}} \right).\frac{{\left( {{a^2} - a} \right)\left( {1 - a} \right)}}{{2a - 1}} - 1\\ A = \left[ {\frac{{\left( {a + 1} \right)\left( {2a - 1} \right)}}{{\left( {1 - a} \right)\left( {a + 1} \right)}} + \,\frac{{a\,\left( {a + 1} \right)\left( {2a - 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} - a + 1} \right)}}} \right].\frac{{a\,\left( {a - 1} \right)\left( {1 - a} \right)}}{{2a - 1}} - 1\\ A = \left[ {\frac{{\left( {2a - 1} \right)}}{{\left( {1 - a} \right)}} + \,\frac{{a\,\left( {2a - 1} \right)}}{{\left( {{a^2} - a + 1} \right)}}} \right].\frac{{a\,\left( {a - 1} \right)\left( {1 - a} \right)}}{{2a - 1}} - 1\\ A = \left[ {\frac{1}{{\left( {1 - a} \right)}} + \,\frac{{a\,}}{{\left( {{a^2} - a + 1} \right)}}} \right].(2a - 1).\frac{{a\,\left( {a - 1} \right)\left( {1 - a} \right)}}{{2a - 1}} - 1\\ \Rightarrow A = \frac{{ - 1}}{{{a^2} - a + 1}}\\ \Leftrightarrow A = \frac{{ - 1}}{{x - \sqrt x + 1}}\\ A = \frac{{ - 1}}{{x - \sqrt x + 1}}\, < \, - \frac{1}{7}\,\,\\ \Leftrightarrow \,\frac{1}{{x - \sqrt x + 1}} > \frac{1}{7}\,\,\\ \Leftrightarrow x - \sqrt x + 1\,\, < 7 \end{array}\)

\(\begin{array}{l} Do\,\,\,\,x - \sqrt x + 1 = \,{\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\\ {x^{}} - \sqrt x - 6 < 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x - 3 < 0\\ \Leftrightarrow 0 \le x < 9 \end{array}\)

Đối chiếu với điều kiện ta được: \(\left\{ \begin{array}{l} 0 \le x < 9\\ x \ne \frac{1}{4},\,x \ne \,1 \end{array} \right.\)

2.Ví dụ 2.Tính:

\(\begin{array}{l} A = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \frac{{2 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }};\\ B = {\left( {\frac{{2 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }}} \right)^5} + {\left( {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}} \right)^5} \end{array}\)

* A= \(\sqrt 2 \)  *Đặt: \(\begin{array}{l} x = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }};\\ y = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\\ \Rightarrow x + y = \sqrt 2 ;xy = \frac{1}{3}\\ B = {x^5} + {y^5}\\ = ({x^3} + {y^3})({x^2} + {y^2}) - {x^2}{y^2}(x + y)\\ = \frac{{11\sqrt 2 }}{9} \end{array}\)

 

...

---Xem đầy đủ phần nội dung của Chuyên đề Bồi dưỡng HSG môn Toán 9 Chuyên đề Căn bậc hai, các bạn vui lòng xem trực tuyến hoặc tải file về máy---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Bồi dưỡng HSG môn Toán 9 Chuyên đề Căn bậc hai. Để xem toàn bộ nội dung các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới.

Chúc các em học tốt!