Toán 8 Bài 4: Phương trình tích - Luyện tập

Lý thuyếtBT SGK FAQ

Trong bài học này chúng ta sẽ tìm hiểu về Phương trình tích cùng với các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung bài học

Quảng cáo

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Kiến thức cơ bản

Ta sử dụng, kết quả:

\(A(x).B(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A(x) = 0\\B(x) = 0\end{array} \right.\)

Với phương trình

\(A(x).B(x)....M(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A(x) = 0\\B(x) = 0\\......\\M(x) = 0\end{array} \right.\)

Lấy các nghiệm của các phương trình trên, ta được nghiệm của phương trình ban đầu.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a. (x – 1) (3 – 2x) = 0

b. (5x – 3)(4x + 1)(x – 8)(x + 3) = 0

Giải

a. Phương trình tương đương với:

\(\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\3 - 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: \(x = 1,x = \frac{3}{2}\)

b. Phương trình tương đương với:

\(\left[ \begin{array}{l}5x - 3 = 0\\4x + 1 = 0\\x - 8 = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\x =  - \frac{1}{4}\\x = 8\\x =  - 3\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 4 nghiệm \(x = \frac{3}{5},x =  - \frac{1}{4}\,,x = 8,x =  - 3\)


Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:  

a. \(2x(x + 1) = {x^2} - 1\)

b. \(3{x^3} = {x^2} + 3x - 1\)

Giải

a.  Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:

Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng:

2x(x+1) =(x-1) (x+1)

\( \Leftrightarrow \) 2x (x+1) – (x – 1)(x + 1) = 0

\( \Leftrightarrow \)(x + 1)(2x – x + 1) = 0

\( \Leftrightarrow \)(x + 1)(x+1) = 0

\( \Leftrightarrow \) x + 1 = 0

\( \Leftrightarrow \) x = -1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = - 1

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:

\(2{x^2} + 2x - {x^2} + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow {(x + 1)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \) x + 1 = 0

\( \Leftrightarrow \) x = -1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = - 1

b.  Biến đổi phương trình về dạng:

\(3{x^3} - {x^2} - 3x + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2}(3x - 1) - (3x - 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow (3x - 1)({x^2} - 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 1 = 0\\{x^2} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\x =  \pm 1\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt là \(x =  - 1,x = 1,x = \frac{1}{3}\)


Ví dụ 3: Cho phương trình \((x + 1 - 3m)(3x - 5 + 2m) = 0\)

a. Tìm các giá trị của m sao cho một trong các nghiệm của phương trình là x = 1.

b. Với mỗi m vừa tìm được ở câu a, hãy giải phương trình đã cho.

Giải

a. Để phương trình nhận x = 1 làm một nghiệm điều kiện là:

(1+1 – 3m)(3.1 – 5 + 2m) = 0

\( \Leftrightarrow (2 - 3m)( - 2 + 2m) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - 3m = 0\\ - 2 + 2m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{2}{3}\\m = 1\end{array} \right.\)

Vậy với \(m = \frac{2}{3}\) hoặc m = 1 thoả mãn điều kiện đầu bài.

b. Ta lần lượt thực hiện:

* Với \(m = \frac{2}{3}\) phương trình có dạng: \((x + 1 - 3.\frac{2}{3})(3x - 5 + 2.\frac{2}{3}) = 0\)

\( \Leftrightarrow (x - 1)(3x - \frac{{11}}{3}) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\3x - \frac{{11}}{3} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{11}}{9}\end{array} \right.\)

Vậy với \(m = \frac{2}{3}\) phương trình có các nghiệm \(x = 1,x = \frac{{11}}{9}\)

* Với m = 1 phương trình có dạng: (x + 1 – 3.1)(3x – 5 + 2.1) = 0

\( \Leftrightarrow (x - 2)(3x - 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\3x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy với m = 1 phương trình có các nghiệm x = 2, x = 1.

Bài tập minh họa

Bài 1: Cho phương trình \(2{x^3} + \,ax\, + 3 = 0\)

a. Biết rằng x = -1 là một nghiệm của phương trình (1), hãy xác định a.

b. Với a vừa tìm được ở câu a) hãy tìm các nghiệm còn lại của phương trình.

Giải

a. Vì x = -1 là một nghiệm của phương trình (1) nên ta được:

\(2{( - 1)^3} + a( - 1) + 3 = 0 \Leftrightarrow  - 2 - a + 3 = 0 \Leftrightarrow a = 1\)

Vậy với a = 1 phương trình (1) có một nghiệm là x = -1.

b. Với a = 1 phương trình (1) có dạng: \(2{x^3} + x + 3 = 0\)    (2)

Để giải phương trình (2) ta cần phân tích đa thức \(2{x^3} + x + 3\) thành nhân tử, để thực hiện công việc này chúng ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Thực hiện phép phân tích:

\(2{x^3} + x + 3 = 2{x^3} + 2 + x + 1\)

\( = 2({x^3} + 1) + (x + 1)\)

\( = 2(x + 1)({x^2} - x + 1) + (x + 1)\)

\( = (x + 1)(2{x^2} - 2x + 2 + 1)\)

\( = (x + 1)(2{x^2} - 2x + 3)\)

Cách 2: Vì x = -1 là nghiệm của phương trình nên đa thức \(2{x^3} + x + 3\) sẽ chia hết cho x + 1 (thực hiện phép chia đa thức \(2{x^3} + x + 3\) ra nháp), từ đó ta được: \(2{x^3} + x + 3\, = (x + 1)(2{x^2} - 2x + 3)\)

Khi đó, phương trình có dạng:

\((x + 1)(2{x^2} - 2x + 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\2{x^2} - 2x + 3 = 0\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Giải (1), ta được x = -1

Giải (2), ta có nhận xét: \(2{x^3} - 2x + 3\, = 2({x^2} - x + 1) > 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1


Bài 2: Giải phương trình \(2{x^3} + {x^2} - 5x + 2 = 0.\) Biết rằng phương trình có một nghiệm là x = 1.

Giải

Thực hiện phép chia đa thức \(2{x^3} + {x^2} - 5x + 2\) cho x – 1, ta được:

\(2{x^3} + {x^2} - 5x + 2 = (x - 1)(2{x^2} + 3x - 2) = (x - 1)(2{x^2} + 4x - x - 2)\)

\( = (x - 1){\rm{[}}2x(x + 2) - (x + 2){\rm{]}} = (x - 1)(2x - 1)(x + 2) = 0\)

Khi đó, phương trình có dạng: \((x - 1)(2x - 1)(x + 2) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\2x - 1 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{2}\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt \(x = 1,x = \frac{1}{2},x =  - 2\)


Bài 3: Giải các phương trình

a. \({x^2} - 9x + 20 = 0\)

b. \({x^3} - 4{x^2} + 5x = 0\)

Giải

a.  Biến đổi: \({x^2} - 9x + 20 = {x^2} - 4x - 5x + 20 = x(x - 4) - 5(x - 4) = (x - 4)(x - 5)\)

Khi đó, phương trình có dạng:

\((x - 4)(x - 5) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 4 = 0\\x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 5\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 4, x = 5

b. Biến đổi: \({x^3} - 4{x^2} + 5x = x({x^2} - 4x + 5) = x{\rm{[}}{(x - 2)^2} + 1]\)

Khi đó phương trình có dạng: \(x{\rm{[}}{(x - 2)^2} + 1] = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Vậy phương trình có nghiệm x = 0 .

3. Luyện tập Bài 4 Chương 3 Đại số 8

Qua bài giảng Phương trình tích này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

  • Biết cách giải dạng phương trình tích
  • Vận dụng được kiến thức đã học để giải các bài toán liên quan

3.1 Trắc nghiệm về Phương trình tích

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 8 Chương 3 Bài 4 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

  • Câu 1:

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

3.2. Bài tập SGK về Phương trình tích

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 8 Chương 3 Bài 4 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Bài tập 21 trang 17 SGK Toán 8 Tập 2

Bài tập 22 trang 17 SGK Toán 8 Tập 2

Bài tập 23 trang 17 SGK Toán 8 Tập 2

Bài tập 24 trang 17 SGK Toán 8 Tập 2

4. Hỏi đáp Bài 4 Chương 3 Đại số 8

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!

  • Tìm nghiệm nguyen

    bởi Mai Thuy 24/07/2018

     tìm nghiệm  nguyên của phương trình x + xy + y + 2 =0

    Bạn nào tốt bụng chỉ mình bài này với, minh không biết giải sao

     

    Theo dõi (0) 2 Trả lời
  •  các bạn xem hộ minh bài này với minh giải được một đoạn thi bí

    \(\begin{array}{l} {x^3} + 4x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - 1 = 0\\ {x^2} + x + 5 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ {x^2} + x + 5 = 0 \end{array} \right. \end{array}\)

    cái còn lại minh không biế giai

     

    Theo dõi (0) 2 Trả lời
  • Có thí chủ nào biết giải bài này không? Giúp tại hạ  với !!!

    Giải phương trình :

    \(8{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} + 4{\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} - 4{\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2}\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = {(x + 4)^2}\)

    Theo dõi (0) 2 Trả lời

-- Mod Toán Học 8 HỌC247

Quảng cáo

Được đề xuất cho bạn