Toán 8 Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu - Luyện tập


Với bài học này chúng ta sẽ được tìm hiểu về Phương trình chứa ẩn ở mẫu , cùng với các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung bài học.

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Đặt vấn đề

Chúng ta sẽ bắt đầu với việc giải phương trình: \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = x\)

Ta sẽ trình bày theo hai cách để chỉ ra điều cần chú ý:

1. Với cách giải: \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = x \Leftrightarrow {x^2} - 1 = x(x - 1) \Leftrightarrow {x^2} - 1 = {x^2} - x \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy phương trình có nghiệm x = 1

2. Với các giải: \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = x \Leftrightarrow \frac{{(x - 1)(x + 1)}}{{x - 1}} = x\)

\( \Leftrightarrow x + 1 = x \Leftrightarrow 1 = 0\) mâu thuẫn.

Vậy phương trình vô nghiệm.

⇒ Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta cần chú ý đến một yếu tố đặc biệt, đó là điều kiện xác định của phương trình.

1.2. Tìm điều kiện xác định của phương trình

Đối với các phương trình dạng: \(\frac{{{A_1}(x)}}{{{B_1}(x)}} + \frac{{{A_2}(x)}}{{{B_2}(x)}} + ... + \frac{{{A_n}(x)}}{{{B_n}(x)}} = 0\)

điều kiện xác định của phương trình được cho bởi hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}{B_1}(x) \ne 0\\{B_2}(x) \ne 0\\.........\\{B_n}(x) \ne 0\end{array} \right.\)

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định cho phương trình sau: \(\frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - 5x + 4}} = 2.\)

Giải

Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{x^2} - 5x + 4 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Giải (1), ta được: \({x^2} \ne 1 \Leftrightarrow x \ne  \pm 1.\)

Giải (2): \({x^2} - 5x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 4x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow x(x - 1) - 4(x - 1) \ne 0\)

\( \Leftrightarrow (x - 1)(x - 4) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 4\end{array} \right.\)

Vậy điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne  \pm 1\\x \ne 1\\x \ne 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  \pm 1\\x \ne 4\end{array} \right.\)

1.3. Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của hai phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 2: Giải phương trình \(\frac{x}{{x - 1}} = \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}}\)

Giải

Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\{x^2} - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne  \pm 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne  \pm 1\)

Biến đổi phương trình về dạng: \(\frac{{x(x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \frac{{2x}}{{(x - 1)(x + 1)}}\)

\( \Leftrightarrow x(x + 1) - 2x = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2x = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow x(x - 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

x = 1 loại vì không thoả mãn điều kiện

Vậy phương trình có một nghiệm x = 0.


Ví dụ 3: Giải phương trình \(\frac{{x - 5}}{{x - 1}} + \frac{2}{{x - 3}} = 1\)

Giải

Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 3\end{array} \right.\)

Biến đổi phương trình về dạng:

\(\frac{{(x - 5)(x - 3)}}{{(x - 1)(x - 3)}} + \frac{{2(x - 1)}}{{(x - 1)(x - 3)}} = \frac{{(x - 1)(x - 3)}}{{(x - 1)(x - 3)}}\)

\( \Leftrightarrow (x - 5)(x - 3) + 2(x - 1) = (x - 1)(x - 3)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 15 + 2x - 2 = {x^2} - 4x + 3\)
\( \Leftrightarrow  - 8x + 2x + 4x = 3 - 15 + 2\)
\( \Leftrightarrow  - 2x =  - 10\)
\( \Leftrightarrow x = 5\) thoả mãn điều kiện

Vậy phương trình có một nghiệm x = 5.

Bài tập minh họa

Bài 1: Giải phương trình \(\frac{{x + 5}}{{{x^2} - 5x}} - \frac{{x - 5}}{{2{x^2} + 10x}} = \frac{{x + 25}}{{2{x^2} - 5x}}\)

Giải

Viết lại phương trình dưới dạng:

\(\frac{{x + 5}}{{{x^2} - 5x}} - \frac{{x - 5}}{{2{x^2} + 10x}} = \frac{{x + 25}}{{2{x^2} - 5x}}\)

Điều kiện xác định của phương trình là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x(x - 5) \ne 0\\2x(x + 5) \ne 0\\2({x^2} - 25) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne  \pm 5\end{array} \right.\)

Biến đổi phương trình về dạng:

\(2{(x + 5)^2} - {(x - 5)^2} = x(x + 25)\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 20x + 50 - {x^2} + 10x - 25 = {x^2} + 25x\)

\( \Leftrightarrow 5x =  - 25 \Leftrightarrow x =  - 5\) không thoả mãn điều kiện.

Vậy phương trình vô nghiệm.


Bài 2: Giải phương trình \(\frac{{x - 8}}{{x - 7}} = \frac{1}{{7 - x}} + 8\)

Giải

Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 7 \ne 0\\7 - x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 7\\x \ne 7\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 7\)

Tới đây để thực hiện tiếp chúng ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:

Cách 1: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu:

\(\frac{{x - 8}}{{x - 7}} =  - \frac{1}{{x - 7}} + 8 \Leftrightarrow \frac{{x - 8}}{{x - 7}} =  - \frac{1}{{x - 7}} + \frac{{8(x - 7)}}{{x - 7}}\)

\( \Leftrightarrow x - 8 =  - 1 + 8(x - 1) \Leftrightarrow x - 8 =  - 1 + 8x - 56\)

\( \Leftrightarrow x - 8x =  - 1 - 56 + 8 \Leftrightarrow  - 7x =  - 49 \Leftrightarrow x = 7\) không thoả mãn.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Cách 2: Thực hiện phép quy đồng cục bộ:

\(\frac{{x - 8}}{{x - 7}} = \frac{1}{{7 - x}} + 8 \Leftrightarrow \frac{{x - 8}}{{x - 7}} + \frac{1}{{x - 7}} = 8 \Leftrightarrow \frac{{x - 8 + 1}}{{x - 7}} = 8\)

\( \Leftrightarrow 1 = 8\), mẫu thuẫn.

Vậy phương trình vô nghiệm.


Bài 3: Giải phương trình \({x^2} + \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} = 3x + \frac{3}{{x - 2}}\)

Giải

Điều kiện xác định của phương trình là: \(x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2.\)

Biến đổi phương trình về dạng:

\({x^2} - 3x + \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} - \frac{3}{{x - 2}} = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + \frac{{2x - 1 - 3}}{{x - 2}} = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + \frac{{2x - 4}}{{x - 2}} = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 2x + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow x(x - 1) - 2(x - 1) = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 2) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)

* x = 2 loại vì không thoả mãn điều kiện

Vậy phương trình có một nghiệm x = 1.

3. Luyện tập Bài 5 Chương 3 Đại số 8

Qua bài giảng Phương trình chứa ẩn ở mẫu này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

  • Biết cách tìm điều kiện xác định của phương trình
  • Nắm vững phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
  • Vận dụng được kiến thức đã học để giải các bài toán liên quan

3.1 Trắc nghiệm về Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 8 Chương 3 Bài 5 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

3.2. Bài tập SGK về Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 8 Chương 3 Bài 5 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Bài tập 27 trang 22 SGK Toán 8 Tập 2

Bài tập 28 trang 22 SGK Toán 8 Tập 2

Bài tập 31 trang 23 SGK Toán 8 Tập 2

4. Hỏi đáp Bài 5 Chương 3 Đại số 8

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!

  • Giai phuong trinh

    bởi Mai Rừng 25/07/2018

    Cac ban giup minh bai nay vs nhé

     

    Theo dõi (0) 2 Trả lời
  • Giải phương trình

    bởi Tram Anh 24/07/2018

    Bai nay các bạn giai thu ra nghiem bao nhieu nhé, minh ra x =-4

     

    \(\frac{{x + 4}}{{{x^2} - 3x + 2}} + \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 4x + 3}} = \frac{{2x + 5}}{{{x^2} - 4x + 3}}\)

    không biết nghiem đo đung k

    Theo dõi (0) 2 Trả lời
  •  Giải dùm minh bài nay vs, nhìn đề ngán quá , huhu T_T

    \(\frac{4}{{2{x^3} + 3{x^2} - 8x - 12}} - \frac{1}{{{x^2} - 4}} - \frac{4}{{2{x^2} + 7x + 6}} + \frac{1}{{2x + 3}} = 0\)

    Theo dõi (0) 2 Trả lời

-- Mod Toán Học 8 HỌC247

Được đề xuất cho bạn