Số học 6 Bài 7: Phép cộng phân số

Lý thuyếtBT SGK FAQ

Bài trước chúng ta đã tìm hiểu so sánh hai phân số. Bài tiếp theo chúng ta sẽ học về Phép cộng phân số.

Tóm tắt lý thuyết

a) Quy tắc:

- Hai phân số cùng mẫu số: \(\frac{a}{m} + \frac{b}{m} = \frac{{a + b}}{m}\)

- Hai phân số khác mẫu số: Phải quy đồng mẫu chung rồi đưa về trường hợp trên:

\(\frac{a}{m} + \frac{b}{n} = \frac{{an}}{{m.n}} + \frac{{bm}}{{m.n}} = \frac{{a.n + b.m}}{{m.n}}\)

b) Tính chất

- Giao hoán: \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}\)

- Kết hợp: \(\left( {\frac{a}{b} + \frac{c}{d}} \right) + \frac{e}{f} = \frac{a}{b} + \left( {\frac{c}{d} + \frac{e}{f}} \right)\)

- Tổng phân số với số 0: \(\frac{a}{b} + 0 = 0 + \frac{a}{b} = \frac{a}{b}\)


Ví dụ 1:

a) Viết phân số \(\frac{7}{{15}}\) dưới dạng tổng của hai phân số tối giản có mẫu khác nhau.

b) Viết phân số \(\frac{1}{8}\) dưới dạng tổng của hai phân số dương có tử bằng 1 và mẫu khác nhau.

c) Viết các phân số bằng \(\frac{{15}}{{17}}\) có mẫu là số tự nhiên chẵn có hai chữ số.

Giải

a) Vì 7 = 2 + 5 = 3 + 4 = 1 + 6 nên có nhiều cách viết:

\(\frac{1}{3} + \frac{2}{{15}}\) hoặc \(\frac{1}{5} + \frac{4}{{15}}\) hoặc \(\frac{2}{5} + \frac{1}{{15}}\)

b) \(\frac{1}{8} = \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{24}}\) hoặc \(\frac{1}{8} = \frac{1}{{40}} + \frac{1}{{10}}\)

c) \(\frac{{15}}{{17}} = \frac{{15.2}}{{17.2}} = \frac{{15.4}}{{17.4}}\)

Do đó có hai phân số bằng \(\frac{7}{{15}}\) là \(\frac{{30}}{{34}}\) và \(\frac{{60}}{{68}}\).


Ví dụ 2: Chứng tỏ:

\(\frac{1}{{1001}} + \frac{1}{{1002}} + \frac{1}{{1003}} + .... + \frac{1}{{1250}} > \frac{1}{5}\)

Giải

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{1001}} > \frac{1}{{1250}}\\\frac{1}{{1002}} > \frac{1}{{1250}}\\...............\\\frac{1}{{1249}} > \frac{1}{{1250}}\end{array}\)

Vậy \(\frac{1}{{1001}} + \frac{1}{{1002}} + \frac{1}{{1003}} + .... + \frac{1}{{1250}} > \frac{1}{{1250}} + \frac{1}{{1250}} + .... + \frac{1}{{1250}} = \frac{{250}}{{1250}} = \frac{1}{5}\)

Do đó: \(\frac{1}{{1001}} + \frac{1}{{1002}} + \frac{1}{{1003}} + .... + \frac{1}{{1250}} > \frac{1}{5}\)


Ví dụ 3: Cho \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \,{\mathbb{N}^*}\) và \(A = \frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{a + c}}.\) Chứng tỏ 1 < A < 2.

Giải

Vì \(\frac{a}{{a + b}} > \frac{a}{{a + b + c}};\frac{b}{{b + c}} > \frac{b}{{a + b + c}};\frac{c}{{a + c}} > \frac{c}{{a + b + c}}\)

Vậy \(A > \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{a + b + c}} + \frac{c}{{a + b + c}} = \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1 \Rightarrow A > 1\)

Xét \(B = \frac{b}{{a + b}} + \frac{c}{{b + c}} + \frac{a}{{a + c}},\) tương tự trên ta suy ra B > 1.

Ta có \(A{\rm{ }} + {\rm{ }}B{\rm{ }} = \left( {\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{a + b}}} \right) + \left( {\frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{b + c}}} \right) + \left( {\frac{c}{{a + c}} + \frac{a}{{a + c}}} \right) = 3\)

Vì B > 1 nên A < 2. Vậy 1 < A < 2.

Bài tập minh họa

Bài 1: Chứng tỏ:

\(\frac{1}{{10}} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{21}} + \frac{1}{{28}} + \frac{1}{{36}} + \frac{1}{{45}} = \frac{3}{{10}}.\)

Giải

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{10}} = \frac{2}{{10}} = 2\left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{5}} \right);\\\frac{1}{{15}} = \frac{2}{{30}} = 2\left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{6}} \right);\\\frac{1}{{21}} = \frac{2}{{42}} = 2\left( {\frac{1}{6} - \frac{1}{7}} \right).\end{array}\)

Do đó

\(\frac{1}{{10}} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{21}} + \frac{1}{{28}} + \frac{1}{{36}} + \frac{1}{{45}} = 2\left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{9} - \frac{1}{{10}}} \right)\)

\( = 2\left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{{10}}} \right) = 2\left( {\frac{5}{{20}} - \frac{2}{{20}}} \right) = 2.\frac{3}{{20}} = \frac{3}{{10}}\)


Bài 2: Tính \(A = \frac{{11}}{{1.3}} + \frac{{11}}{{3.5}} + ... + \frac{{11}}{{97.99}}\)

Giải

\(A = \frac{{11}}{2}\left( {\frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{3.5}} + .... + \frac{2}{{97.99}}} \right) = \frac{{11}}{2}\left[ {\left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{91}} - \frac{1}{{99}}} \right)} \right]\)

\(A = \frac{{11}}{2}\left( {1 - \frac{1}{{99}}} \right) = \frac{{11}}{2}.\frac{{98}}{{99}} = \frac{{49}}{9}.\)


Bài 3: Tìm x biết:

\(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{10}} + ... + \frac{2}{{x(x + 1)}} = \frac{{1999}}{{2001}}\)

Giải

\(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{10}} + ... + \frac{2}{{x(x + 1)}} = \frac{2}{{2.3}} + \frac{2}{{3.4}} + \frac{2}{{4.5}} + \frac{2}{{x(x + 1)}} = 2\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)\)

Lời kết

Nội dung bài học đã giới thiệu đến các em phương pháp tìm Phép cộng phân số và các dạng toán liên quan. Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Số học 6 Bài 7 với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Số học 6 Bài 7 cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Số học 6 Bài 7 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 6.

-- Mod Toán Học 6 HỌC247

Được đề xuất cho bạn