Hỏi đáp về Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Tìm giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\ln \left( {1 + 3x} \right)} \over x}\). 

Vẽ đồ thị của hàm số sau: \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\). 

Hãy cho biết hàm số sau đây đồng biến hay nghịch biến trên R: \(y = {\left( {{3 \over {\sqrt 2  + \sqrt 3 }}} \right)^x}\). 

Hãy cho biết hàm số sau đây đồng biến hay nghịch biến trên R: \(y = {\left( {{\pi  \over 3}} \right)^x}\). 

Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = {1 \over 2}\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)\) 

Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = {1 \over 2}\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)\)  

Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = {x^2}.\sqrt {{e^{4x}} + 1} \) 

Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = \left( {x - 1} \right){e^{2x}}\). 

Tìm giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{e^{2x}} - {e^{5x}}} \over x}\).  

Tìm giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{e^2} - {e^{3x + 2}}} \over x}\). 

Cho biết chu kì bán hủy của chất phóng xạ Plutanium \(P{u^{239}}\) là 24360 năm (tức là một lượng \(P{u^{239}}\) sau 24360 năm phân hủy chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức \(S = A.{e^{rt}}\), trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r < 0), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi 10 gam \(P{u^{239}}\) sau bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam?

Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức \(S = A.{e^{rt}}\), trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn? Sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi?

Chứng minh rằng: \({7 \over {16}}\ln \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right) - 4\ln \left( {\sqrt 2  + 1} \right) - {{25} \over 8}\ln \left( {\sqrt 2  - 1} \right) = 0\). 

Biểu diễn số sau đây theo a = ln2,b = ln5: \(\ln{1 \over 2} + \ln {2 \over 3} + ... + \ln {{98} \over {99}} + \ln {{99} \over {100}}\).

Biểu diễn số sau đây theo a = ln2,b = ln5: \(\ln6,25\).   

Biểu diễn số sau đây theo a = ln2,b = ln5: \(\ln {{16} \over {25}}\). 

Biểu diễn số sau đây theo a = ln2,b = ln5: \(\ln 500\)  

Tìm sai lầm trong lập luận sau: Ta có \(\ln {e^2} = 2\ln e = 2.1 = 2\) và \(\ln \left( {2e} \right) = {\mathop{\rm lne}\nolimits}  + lne = 1 + 1 = 2\).  Từ đó suy ra \({e^2} = 2e\), mà \(e \ne 0\) nên \(e = 2!\). 

Tính đạo hàm của hàm số: \(y= \dfrac{\log_{3}x}{x}\). 

Tính đạo hàm của hàm số: \(y = \log({x^2} + x+1)\). 

Tính đạo hàm của hàm số: \(y =3{x^2}-\ln x + 4\sin x\). 

Vẽ đồ thị của hàm số: y = \(log_{\frac{1}{2}}x\). 

Vẽ đồ thị của hàm số: \(y = logx\). 

Tìm tập xác định của hàm số: \(y= log_{0,4}\dfrac{3x+2}{1-x}\).