Giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 2: Phép tính lôgarit

Độ lớn \(M\) (theo độ Richter) của một trận động đất được xác định như Hoạt động mở đầu.

a) Tìm độ lớn theo thang Richter của các trận động đất có biên độ lớn nhất lần lượt là \({10^{3,5}}\mu m;100000\mu m;{100.10^{4,3}}\mu m\).

b) Một trận động đất có biên độ lớn nhất \(A = 65000\mu m\) thì độ lớn \(M\) của nó phải thoả mãn hệ thức nào?

Tính:

a) \({\log _3}\sqrt[3]{3}\);

b) \({\log _{\frac{1}{2}}}8\);

c) \({\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{{{\log }_5}4}}\).

Sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ sáu):

a) \({\log _5}0,5\);

b) \(\log 25\);

c) \(\ln \frac{3}{2}\).

Cho các số thực dương \(a,M,N\) với \(a \ne 1\). Bạn Quân đã vẽ sơ đồ và tìm ra công thức biến đổi biểu thức \({\log _a}\left( {MN} \right)\) như sau:

a) Giải thích cách làm của bạn Quân.

b) Vẽ sơ đồ tương tự để tìm công thức biến đổi cho \({\log _a}\frac{M}{N}\) và \({\log _a}{M^\alpha }\left( {\alpha \in \mathbb{R}} \right)\).

Tính:

a) \({\log _5}4 + {\log _5}\frac{1}{4}\);

b) \({\log _2}28 - {\log _2}7\); c) \(\log \sqrt {1000} \).

Độ lớn \(M\) của một trận động đất theo thang Richter được tính theo công thức \(M = \log \frac{A}{{{A_0}}}\), trong đó \(A\) là biên độ lớn nhất ghi được bởi máy đo địa chấn, \({A_0}\) là biên độ tiêu chuẩn được sử dụng để hiệu chỉnh độ lệch gây ra bởi khoảng cách của máy đo địa chấn so với tâm chấn (ở Hoạt động mở đầu và Hoạt động 1, \({A_0} = 1\mu m\)).

a) Tính độ lớn của trận động đất có biên độ \(A\) bằng

    i) \({10^{5,1}}{A_0}\); ii) \(65000{A_0}\).

b) Một trận động đất tại địa điểm \(N\) có biên độ lớn nhất gấp ba lần biên độ lớn nhất của trận động đất tại địa điểm \(P\). So sánh độ lớn của hai trận động đất.

Khi chưa có máy tính, người ta thường tính các lôgarit dựa trên bảng giá trị các lôgarit thập phân đã được xây dựng sẵn. Chẳng hạn, để tính \(x = {\log _2}15\), người ta viết \({2^x} = 15\) rồi lấy lôgarit thập phân hai vế, nhận được \(x\log 2 = \log 15\) hay \(x = \frac{{\log 15}}{{\log 2}}\).

Sử dụng cách làm này, tính \({\log _a}N\) theo \(\log a\) và \(\log N\) với \(a,N > 0,a \ne 1\).

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) \({\log _{\frac{1}{4}}}8\);

b) \({\log _4}5.{\log _5}6.{\log _6}8\).

Đặt \({\log _3}2 = a,{\log _3}7 = b\). Biểu thị \({\log _{12}}21\) theo \(a\) và \(b\).

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) \({\log _2}16\);

b) \({\log _3}\frac{1}{{27}}\);

c) \(\log 1000\);

d) \({9^{{{\log }_3}12}}\).

Tìm các giá trị của \(x\) để biểu thức sau có nghĩa:

a) \({\log _3}\left( {1 - 2{\rm{x}}} \right)\);

b) \({\log _{x + 1}}5\).

Sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ tư):

a) \({\log _3}15\);

b) \(\log 8 - \log 3\);

c) \(3\ln 2\).

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) \({\log _6}9 + {\log _6}4\);

b) \({\log _5}2 - {\log _5}50\);

c) \({\log _3}\sqrt 5 - \frac{1}{2}{\log _3}15\).

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) \({\log _2}9.{\log _3}4\);

b) \({\log _{25}}\frac{1}{{\sqrt 5 }}\);

c) \({\log _2}3.{\log _9}\sqrt 5 .{\log _5}4\).

Đặt \(\log 2 = a,\log 3 = b\). Biểu thị các biểu thức sau theo \(a\) và \(b\).

a) \({\log _4}9\);

b) \({\log _6}12\);

c) \({\log _5}6\).

a) Nước cất có nồng độ H⁺ là \({10^{ - 7}}\) mol/L. Tính độ pH của nước cất.

b) Một dung dịch có nồng độ H⁺ gấp 20 lần nồng độ H⁺ của nước cất. Tính độ pH của dung dịch đó.

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) ${\log }_9\frac{1}{81}$;

b) log 10 000;

c) log 0,001;

d) log_0,7 1;

e) ${\log }_5\sqrt[4]{5}$;

g) log_0,5 0,125.

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $3^{{\log }_{3}5}$;

b) e^{ln 3};

c) $7^{2{\log }_{7}8}$;

d) $2^{lo{g}_{2}3+{\log }_{2}5}$;

e) $4^{lo{g}_2\frac{1}{5}}$;

g) 0,001^log2.

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) ${\log }_3\frac{9}{10}+{\log }_{3}30$;

b) log₅ 75 + log₅ 3;

c) ${\log }_3\frac{5}{9}-2{\log }_3\sqrt{5}$;

d) 4log₁₂ 2 + 2log₁₂ 3;

e) $2{\log }_{5}2-{\log }_{5}4\sqrt{10}+{\log }_5\sqrt{2}$;

g) ${\log }_3\sqrt{3}-{\log }_3\sqrt[3]{9}+2{\log }_3\sqrt[4]{27}$.

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) ${\log }_8\frac{1}{32}$;

b) log₅ 3 . log₃ 5;

c) $2^{\frac{1}{{\log }_{5}2}}$;

d) log₂₇ 25 . log₅ 81.

Tính:

a) log₃ 5. log₅ 7 .log₇ 9;

b) ${\log }_2\frac{1}{25}.{\log }_3\frac{1}{32}.{\log }_5\frac{1}{27}$.

Sử dụng máy tính cầm tay, tính (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư):

a) log₇ 21;

b) log 2,25;

c) $\log \sqrt{14}$;

d) log_0,5 3 + log₅ 0,3.

Đặt log₂ 3 = a, log₂ 5 = b. Hãy biểu thị các biểu thức sau theo a và b.

a) log_­2 45;

b) ${\log }_2\frac{\sqrt{15}}{6}$;

c) log₃ 20.

Đặt log x = a, log y = b, log z = c (x, y, z > 0). Hãy biểu thị các biểu thức sau theo a, b, c.

a) log (xyz);

b) $\log \frac{x^3\sqrt[3]{y}}{100\sqrt{z}}$;

c) log_z (xy²) z ≠ 1.

Đặt log₂ 3 = a, log₃ 15 = b. Biểu thị log₃₀18 theo a và b?