Giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

Vì sao mặt cắt của sóng nước trên mặt hồ được gọi là có dạng hình sin?

Cho số thực t và M là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo t rad trên đường tròn lượng giác, hãy giải thích vì sao xác định duy nhất:

a) Giá trị sint và cost;

b) Giá trị tant (nếu $t\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$) và cot t (nếu $t\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$).

Xét hai hàm số y = x², y = 2x và đồ thị của chúng trong Hình 2. Đối với mỗi trường hợp nêu mối liên hệ của giá trị hàm số tại 1 và – 1, 2 và – 2. Nhận xét về tính đối xứng của mỗi đồ thị hàm số.

Chứng minh rằng hàm số y = sinx và hàm số y = cotx là các hàm số lẻ.

Hãy chỉ ra một số thực T sao cho sin(x + T) = sinx với mọi x ∈ℝ.

Xét tính tuần hoàn của hàm số y = cosx và hàm số y = cotx.

Hoàn thành bảng giá trị sau đây và xác định các điểm tương ứng trên mặt phẳng tọa độ.

Hoàn thành bảng giá trị sau đây và xác định các điểm tương ứng trên mặt phẳng tọa độ.

Cho hàm số y = cos x với \(x \in \left [ -\frac{\pi }{2};\pi  \right ]\)

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho

b) Tại các điểm nào thì giá trị hàm số lớn nhất?

c) Tìm các giá trị của x thuộc \(\left [ -\frac{\pi }{4};\frac{5\pi }{4} \right ]\) sao cho \(\sin(x-\frac{\pi }{4})<0\)

Hoàn thành bảng giá trị sau đây và xác định các điểm tương ứng trên mặt phẳng tọa độ.

Hoàn thành bảng giá trị sau đây và xác định các điểm tương ứng trên mặt phẳng tọa độ.

Có bao nhiêu giá trị x trên đoạn [–2π; 2π] thỏa mãn điều kiện tanx = 2?

Các hàm số dưới đây có là hàm số chẵn hay hàm số lẻ không?

a) y = 5sin²x + 1;

b) y = cosx + sinx;

c) y = tan2x.

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1}{\cos x}$;

b) $\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$;

c) $y=\frac{1}{2-{\sin }^{2}x}$.

Tìm tập giá trị của hàm số y = 2cosx + 1.

Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, xác định các giá trị x ∈ [– π; π] thỏa mãn sinx = $\frac{1}{2}$.

Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của một cabin M phụ thuộc vào góc lượng giác α = (Ox, OM) theo hàm số v_x = 0,3sin α (m/s) (Hình 11).

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của v_x.

b) Dựa vào độ thị của hàm số sin, hãy cho viết trong các vòng quay đầu tiên (0 ≤ α ≤ 2π), góc α ở trong các khoảng nào thì v_x tăng.

Khoảng cách từ tâm một guồng nước đến mặt nước và bán kính của guồng đều bằng 3m. Xét gàu G của guồng. Ban đầu gàu G nằm ở vị trí A (Hình 12).

a) Viết hàm số h biểu diễn chiều cao (tính bằng mét) của gàu G so với mặt nước theo góc α = (OA, OG).

b) Guồng nước quay hết mỗi vòng trong 30 giây. Dựa vào đồ thị của hàm số sin hãy cho biết ở các thời điểm t nào trong 1 phút đầu, khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng 1,5m.

Trong Hình 13, một chiếc máy bay A bay ở độ cao 500m theo một đường thẳng đi ngang qua phía trên trạm quan sát T ở mặt đất. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt đất là H, α là góc lượng giác (Tx, TA) (0 < α < π).

a) Biểu diễn tọa độ xH của điểm H trên trục Tx theo α.

b) Dựa vào đồ thị hàm số côtang, hãy cho biết với $\frac{\pi }{6}<\alpha <\frac{2\pi }{3}$ thì x_H nằm trong khoảng nào. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=-\frac{2}{\sin 3x};$

b) $y=\tan \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6}\right);$

c) $y=\cot \left(2x-\frac{\pi }{4}\right);$

d) $y=\frac{1}{3-{\cos }^{2}x}.$

Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) $y=\frac{\sin 3x}{x};$

b) $y=-5x^2+c\text{os}\frac{x}{2};$

c) $y=x\sqrt{1+\cos 2x};$

d) $y=\cot x-\frac{2}{\mathrm{s}\text{inx}};$

e) $y=\left|x\right|+\tan x;$

f) $y=\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right).$

Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) y = 5 - $2\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)$;

b) y = |sin3x| - 1;

c) y = 2tanx + 3;

d) y = $\sqrt{1-\sin x}$ + 2.

Cho hàm số y = sinx với x ∈ [‒2π; 2π].

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.

b) Tìm các giá trị của $x\in \left[-\frac{5\pi }{3};\frac{7\pi }{3}\right]$ sao cho $\sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=-1.$

c) Tìm các giá trị của $x\in \left[-\frac{9\pi }{8};\frac{7\pi }{8}\right]$ sao cho $\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)>0.$

d) Tìm m để có bốn giá trị α ∈ [‒2π; 2π] phân biệt thỏa mãn sinα = m.

Cho hàm số y = tanx với $x\in \left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right).$

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.

b) Tìm các giá trị của $x\in \left[-\frac{7\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$ sao cho $\sqrt{3}\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+1=0.$

c) Tìm các giá trị của $x\in \left[-\frac{5\pi }{6};\frac{\pi }{6}\right]$ sao cho $\tan \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)\ge -\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Huyết áp là áp lực máu cần thiết tác động lên thành động mạch nhằm đưa máu đi nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Nhờ lực co bóp của tim và sức cản của động mạch mà huyết áp được tạo ra. Giả sử huyết áp của một người thay đổi theo thời gian được cho bởi công thức: p(t) = 120 + 15cos150πt, trong đó p(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thủy ngân) và thời gian t tính theo đơn vị phút.

a) Chứng minh p(t) là một hàm số tuần hoàn.

b) Huyết áp cao nhất và huyết áp thấp nhất lần lượt được gọi là huyết áp tâm thu và huyết áp tâm trương. Tìm chỉ số huyết áp của người đó, biết rằng chỉ số huyết áp được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương.

Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình $s=3\sin \left(\frac{\pi }{2}t\right)$ với s tính bằng cm và t tình bằng giây. Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy xác định ở các thời điểm t nào trong 4 giây đầu thì $s\le -\frac{3}{2}?$