Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 2 Bài 3: Cấp số nhân

Vi khuẩn E. coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần.

(Nguồn: Sinh học 10, NXB Giáo dục Việt Nam, 2010)

Giả sử lúc đầu có 100 vi khuẩn E. coli. Hỏi có bao nhiêu vi khuẩn E.coli sau 180 phút?

Cho dãy số \(\frac{1}{3}; 1; 3; 9; 27; 81; 243\). Kể từ số hạng thứ hai, nêu mối liên hệ của mỗi số hạng với số hạng đứng ngay trước nó?

Cho cấp số nhân (\(u_n\)) với \(u_1 = – 6, u_2 = – 2\).

a) Tìm công bội q?

b) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân đó?

Cho dãy số (\(u_n\)) với \(u_n = 3.2n\) (\(n \ge 1\)). Dãy (\(u_n\)) có là cấp số nhân không? Vì sao?

Cho cấp số nhân (\(u_n\)) có số hạng đầu \(u_1\), công bội q.

a) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân theo \(u_1\) và q?

b) Dự đoán công thức tính \(u_n\) theo \(u_1\) và q?

Bác Linh gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng tiền tiết kiệm với hình thức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất 6%/năm. Viết công thức tính số tiền (cả gốc lẫn lãi) mà bác Linh có được sau n năm (giả sử lãi suất không thay đổi qua các năm)?

Cho cấp số nhân (\(u_n\)) có số hạng đầu \(u_1\), công bội \(q \ne 1\). Đặt \(S_n = u_1 + u_2 + u_3 + ... + u_n = u_1 + u_1q + u_1q^2 + ... + u_1q^{n-1}\).

a) Tính \(S_n.q\) và \(S_n – Sn.q\)?

b) Từ đó, hãy tìm công thức tính \(S_n\) theo \(u_1\) và q?

Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số nhân sau:

a) 3; – 6; 12; – 24; ... với n = 12;

b) $\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000}$,... với n = 5.

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao?

a) \(5;~ – 0,5;~ 0,05;~ – 0,005;~ 0,0005\);

b) \(– 9; ~3; ~– 1; ~\frac{1}{3};~\frac{−1}{9}\);

c) \(2;~ 8;~ 32;~ 64;~ 256\).

Chứng minh mỗi dãy số (u_n) với mỗi số hạng tổng quát như sau là cấp số nhân:

a) $u_n=-\frac{3}{4}{.2}^n$ ;

b) $u_n=\frac{5}{3^n}$;

c) \( u_n = ( – 0,75)^n.\)

Cho cấp số nhân (\(u_n\)) với số hạng đầu \(u_1 = – 5\), công bội \(q = 2\).

a) Tìm \(u_n\)?

b) Số \(– 320\) là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân trên?

c) Số \(160\) có phải là một số hạng của cấp số nhân trên không?

Cho cấp số nhân (\(u_n\)) với \(u_1 = 3,~ u_3 = \frac{27}{4}\).

a) Tìm công bội q và viết năm số hạng đầu của cấp số nhân trên?

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên?

Một tỉnh có 2 triệu dân vào năm 2020 với tỉ lệ tăng dân số là 1%/năm. Gọi un là số dân của tỉnh đó sau n năm. Giải sử tỉ lệ tăng dân số là không đổi.

a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau n năm kể từ năm 2020?

b) Tính số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020?

Một gia đình mua một chiếc ô tô giá 800 triệu đồng. Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá trị còn lại của ô tô giảm đi 4% (so với năm trước đó).

a) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau 1 năm, 2 năm sử dụng?

b) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau n năm sử dụng?

c) Sau 10 năm, giá trị của ô tô ước tính còn bao nhiêu triệu đồng?

Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng 75% so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên (Hình 3). Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống.

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. \(128; - 64;{\rm{ 32;}} - 16;{\rm{ 8}}\)

B. \(\sqrt 2 ;{\rm{ 2; 2}}\sqrt 2 ;{\rm{ 4; 8}}\)

C. \(5;{\rm{ 6; 7; 8; 9}}\)

D. \(15;{\rm{ 5; 1; }}\frac{1}{5};{\rm{ }}\frac{1}{{25}}\)

Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. \({u_n} = {5^n}\)

B. \({u_n} = 1 + 5n\)

C. \({u_n} = {5^n} + 1\)

D. \({u_n} = 5 + {n^2}\)

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công bội \(q = - 2\). Giá trị \({u_5}\) là:

A. \( - 32\)

B. \( - 16\)

C. \( - 6\)

D. 32

Viết bốn số hạng xen giữa các số 1 và \( - 243\) để được một cấp số nhân có 6 số hạng. Bốn số hạng đó lần lượt là:

A. \( - 3; - 9; - 27; - 81\)

B. \(3; - 9;27; - 81\)

C. \(3;9;27;81\)

D. \( - 3;9; - 27;81\)

Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_2}.{u_6} = 64\). Giá trị của \({u_3}.{u_5}\) là:

A. \( - 8\)

B. \( - 64\)

C. 64

D. 8

Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có \({u_1} = \frac{1}{3}\); \({u_8} = 729\). Tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là:

A. \(\frac{{1 - {3^8}}}{2}\)

B. \(\frac{{{3^8} - 1}}{6}\)

C. \(\frac{{{3^8} - 1}}{2}\)

D. \(\frac{{1 - {3^8}}}{6}\)

Cho hình vuông \({C_1}\) có cạnh bằng 1. Gọi \({C_2}\) là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông \({C_1}\); \({C_3}\) là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông \({C_2}\); … Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta được dãy các hình vuông \({C_1}\); \({C_2}\); \({C_3}\); … ; \({C_n}\); … Diện tích của hình vuông \({C_{2023}}\) là:

A. \(\frac{1}{{{2^{2022}}}}\)

B. \(\frac{1}{{{2^{2023}}}}\)

C. \(\frac{1}{{{2^{1011}}}}\)

D. \(\frac{1}{{{2^{1012}}}}\)

Cho ba số \(\frac{2}{{b - a}}\), \(\frac{1}{b}\), \(\frac{2}{{b - c}}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số \(a\), \(b\), \(c\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân?

Tìm \(x\) để ba số \(2x - 3\), \(x\), \(2x + 3\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân?

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 16\\{u_2} + {u_4} = 40\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_6} = 244\\{u_2}.{u_5} = 243\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 13\\{u_4} + {u_5} + {u_6} = 351\end{array} \right.\)

Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có \({u_1} + {u_5} = 51\) và \({u_2} + {u_6} = 102\)

a) Tính \({u_{10}}\).

b) Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân trên?

c) Số 9216 có là số hạng nào của cấp số nhân trên không?

Một cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 2, số hạng thứ bảy gấp 32 lần số hạng thứ hai. Tìm các số hạng của cấp số nhân đó?

Ba số phân biệt tạo thành một cấp số nhân có tổng bằng 78; đồng thời chúng là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ chín của một cấp số cộng. Tìm ba số đó?

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = - 1\), \(q = 3\).

a) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân đó.

b) Giả sử tổng \(m\) số hạng đầu của \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng \( - 364\). Tìm \(m\)

c) Tính tổng \(S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \frac{1}{{{u_4}}} + \frac{1}{{{u_5}}}\).

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = 1\), \({u_n} = \frac{1}{3}{u_{n - 1}} + 1\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\), \(n \ge 2\). Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{3}{2}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

a) Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.

b) Tìm công thức số hạng tổng quát của \(\left( {{u_n}} \right)\), \(\left( {{v_n}} \right)\).

c) Tính tổng \(S = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{10}}\).

Anh Dũng kí hợp đồng lao động trong 10 năm với phương án trả lương như sau: Năm thứ nhất, tiền lương của anh Dũng là 120 triệu đồng. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương của anh Dũng được tăng lên 10%. Tính tổng số tiền lương anh Dũng lĩnh được trong 10 năm đầu đi làm (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị triệu đồng)?