YOMEDIA
NONE

Bài tập 55 trang 117 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 55 trang 117 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính:

a) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’);

b) Số đo của góc nhị diện [A, CD, B’];

c) Tang của góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ABCD);

d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng C’D và BC;

e*) Góc giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.

ATNETWORK

Hướng dẫn giải chi tiết Bài tập 55

Ta có: ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương cạnh a nên tất cả các mặt bên và hai mặt đáy của hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ đều là hình vuông cạnh a.

a) Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có (ABCD) // (A’B’C’D’) và AA’ ⊥ (ABCD).

Như vậy: d((ABCD), (A’B’C’D’)) = d(A’, (ABCD)) = AA’ = a.

b) Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có A’B’ // DC.

Suy ra bốn điểm A’, B’, C, D đồng phẳng.

Khi đó, góc nhị diện [A, CD, B’] bằng góc nhị diện [A, CD, A’].

Ta có: CD ⊥ AD, CD ⊥ DD’ (do ABCD, D’C’CD là hai hình vuông), AD ∩ DD’ = D trong (A’D’DA).

Suy ra CD ⊥ (A’D’DA).

Hơn nữa A’D ⊂ (A’D’DA).

Nên ta có CD ⊥ A’D.

Ta thấy: A’D ⊥ CD, AD ⊥ CD (do ABCD là hình vuông), AD ∩ A’D = D ∈ CD.

Suy ra ADA'^ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, CD, A’] hay góc nhị diện [A, CD, B’].

Vì ADD’A là hình vuông nên ADA'^=45°.

Vậy số đo của góc nhị diện [A, CD, B’] bằng 45°

c) Vì DD’ ⊥ (ABCD) nên góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng BD’ và BD và bằng D'BD^.

Do ABCD là hình vuông cạnh a, nên ta có BD=AD2+AB2=a2+a2=a2.

Ta có: DD’ ⊥ (ABCD), BD ⊂ (ABCD) nên DD’ ⊥ BD.

Xét tam giác D’DB vuông tại D có:

tanD'BD^=DD'BD=aa2=22.

Vậy tang của góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ABCD) bằng 22.

d) Gọi I là giao điểm của CD’ và C’D.

Do D’C’CD là hình vuông nên I là trung điểm của CD’ và CD’ ⊥ C’D hay IC ⊥ C’D.

Ta có: BC ⊥ (D’C’CD) (do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương)

Mà IC ⊂ (D’C’CD) nên BC ⊥ IC.

Ta thấy: IC ⊥ C’D, IC ⊥ BC nên IC là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng C’D và BC.

Như vậy: dC'D,BC=IC=CD'2.

Do ABCD, D’C’CD, A’D’DA là các hình vuông cạnh a nên có các đường chéo CD'=AD'=AC=a2.

Suy ra dC'D,BC=a22.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng C’D và BC bằng a22.

e*) Ta có: D’C’ song song và bằng DC, DC song song và bằng AB (do DC’CD, ABCD là hai hình vuông cạnh a), nên D’C’ song song và bằng AB.

Suy ra ABC’D’ là hình bình hành nên ta có BC’ // AD’.

Khi đó góc giữa hai đường thẳng BC’ và CD’ bằng góc giữa hai đường thẳng AD’ và CD’ và bằng

CD'=AD'=AC=a2 nên tam giác ACD’ là tam giác đều.

Suy ra AD'C^=60°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng BC’ và CD’ bằng 60°.

-- Mod Toán 11 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 55 trang 117 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA

Chưa có câu hỏi nào. Em hãy trở thành người đầu tiên đặt câu hỏi.

AANETWORK
 

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON