Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Xác suất của biến cố

Chú ý:

+ Định nghĩa trên được gọi là định nghĩa cổ điển của xác suất.

+ Với mọi biến cố A, \(0 \le P\left( A \right) \le 1\).

+ \(P\left( \Omega  \right) = 1,P\left( \emptyset  \right) = 0\).

Xác suất của mỗi biến cố đo lường khả năng xảy ra của biển cố đó. Biến cố có khả năng xảy ra càng cao thì xác suât của nó càng gần 1

Ví dụ: Hộp thứ nhất đựng 4 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 4. Hộp thứ hai đựng 6 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 6. Lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp một tấm thẻ.

a) Hãy xác định không gian mẫu của phép thử

b) Gọi A là biển cổ “Hai thẻ lấy ra có cùng số”. Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho A và tính xác suất của biển cố A.

c) Gọi B là biến cố “Tổng hai số trên hai thẻ lấy ra lớn hơn 8”. Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho B và tính xác suât của biến cố B.

Giải

a) Kết quả của mỗi lần thứ lả một cặp (i; j) với ¡ \(\in\) {1; 2; 3; 4} là số trên thẻ lấy ra từ hộp thứ nhất và j \(\in\) {1; 2; 3; 4; 5; 6} là sô trên thẻ lấy ra từ hộp thứ hai. Không gian mẫu của phép thử là:

\(\Omega \) = (1;1); (1;2); 1; 3); (1; 4; (1; 5); (1; 6;

  (2; 1); (2; 2); (2; 3); 2; 4); (2; 5): (2; 6);

  (3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (3; 6),

  (4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4); (4; 5); (4: 6);

b) Không gian mẫu gỏm có 24 kết quả, tức là n(\(\Omega \)) = 24.

Biển cỗ A = {(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4)}

Số các kết quả thuận lợi cho A là n(A) = 4. Do đó, xác suất của biên cố A là:

\(P\left( A \right) = \frac{4}{{24}} = \frac{1}{6}\)

c) Biển cô B= {(3; 6); (4; 5); (4; 6}.

Số các kết quả thuận lợi cho B là n(B) = 3. Do đó, xác suất của biến cố B là

\(P\left( B \right) = \frac{3}{{24}} = \frac{1}{8}\)

Trong chương VIII, chúng ta đã được làm quen với phương pháp sử dụng sơ đô hình cây đề liệt kê các kết quả của một thí nghiệm. Ta cũng có thể sử dụng sơ đồ hình cây để tính xác suất

Ví dụ: Tung một đồng xu cân đối và đồng chất 3 lần liên tiếp. Tỉnh xác suât của biến cố A: “Trong 3 lần tung có ít nhất 2 lần liên tiếp xuât hiện mặt sấp”.

Giải

Kí hiệu S nếu tung được mặt sấp, N nều tung được mặt ngửa. Các kết quả có thể xảy ra trong 3 lần tung được thê hiện ở sơ đồ hình cây như sau

Có tật cả 8 kết quả có thể xảy ra, trong đó có 3 kết quả thuận lợi cho A. Do đó: \(P\left( A \right) = \frac{3}{8}\)

Ví dụ: Gieo đồng thời ba con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cô “Tích sô chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc đó là số chẵn”

a) Hãy tìm biến cô đôi của biến có A.

b) Hãy tính xác suất của biên cố A.

Giải

a) Biên cố đôi của biển cố A là biến cố “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc đó là số lẻ”,

b) Tổng số kết quả có thể xảy ra của phép thử là \(n\left( \Omega  \right) = {6^3}\).

\(\overline A \) xảy ra khi mặt xuất hiện trên cả ba con xúc xắc đều có số chấm là số lẻ. Số kết quả thuận lợi cho \(\overline A \) là n(\(\overline A \)) = 3³

Xác suất của biến cố \(\overline A \) là \(P\left( {\bar A{\rm{ }}} \right) = \frac{{{3^3}}}{{{6^3}}} = \frac{1}{8}\)

Xác suất của biến cố A là \(P\left( {A{\rm{ }}} \right) = 1 - P\left( {\overline {A{\rm{ }}} } \right) = \frac{7}{8}\)

Trong thực tế, các biến cố có xác suât xảy ra gần bằng 1 thì gần như là luôn xảy ra trong một phép thử. Ngược lại, các biển cố mà xác suất xảy ra gần băng 0 thì gần như không xảy ra trong một phép thử.

Trong Lí thuyết Xác suất, Nguyên lí xác suất bé được phát biểu như sau:

Nếu một biển cố cố xác suất rất bẻ thì trong một phép thử, biến cố đó sẽ không xảy ra

Ví dụ như khi một con tàu lưu thông trên biển, xác suất nó bị đấm là số dương. Tuy nhiên, nểu tuân thủ các quy tắc an toàn thì xác suất xảy ra biến cố này là rât nhỏ, con tàu có thể yên tâm hoạt động.

Nếu một nhà sản xuất tuyên bố tỉ lệ gây sốc phản vệ nặng khi tiêm một loại vắc xin là rât nhỏ, chỉ khoảng 0,001, thì có thể tiêm vắc xin đó cho mọi người được không? Câu trả lời là không, vì sức khoẻ và tính mạng con người là vô giá, nếu tiêm loại vắc xin đó cho hàng tỉ người thì khả năng có nhiều người bị sốc phản vệ nặng là rât cao.

Câu 1: Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố:

a) “Hai mặt xuất hiện có cùng số chấm”

b) “Tổng số chấm trên hai mặt xuất hiện bằng 9”

Hướng dẫn giải

Kết quả của mỗi lần thử là một cặp (i; j) với i và j lần lượt là số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc, hai con xúc xắc gieo đồng thời nên không quan tâm thứ tự, ta có không gian mẫu là:

\(\Omega  = \begin{array}{l}\{(1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(1;6),(2;2),(2;3),(2;4),(2;5),(2;6),(3;3),(3;4),(3;5),(3;6),\\(4;4),(4;5),(4;6),(5;5),(5;6),(6;6)\}\end{array} \)

Không gian mẫu gồm có 21 kết quả, tức là \(n\left( \Omega  \right) = 21\)

a) Ta có tập hợp miêu tả biến cố A

\(A = \left\{ {(1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),(6;6)} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 6\)

Do đó, xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{6}{{21}} = \frac{2}{7}\)

b) Ta có tập hợp miêu tả biến cố B

\(B = \left\{ {(6;3),(5;4)} \right\} \Rightarrow n\left( B \right) = 2\)

Do đó, xác suất của biến cố B là: \(P\left( B \right) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{2}{{21}}\)

Câu 2: Gieo đồng thời 3 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố:

a) “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3”

b) “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc lớn hơn 4”

Hướng dẫn giải

a) Gọi biến cố A: “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc không chia hết cho 3” là biến cố đối của biến cố ‘Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3”

Tổng số kết quả của phép thử có thể xảy ra là \(n(\Omega ) = {6^3}\)

A xảy ra khi mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc đều xuất hiện số chấm không chi hết cho 3. Số kết quả thuận lợi cho A là: \(n(A) = {4^3}\)

Xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{{4^3}}}{{{6^3}}} = \frac{8}{{27}}\)

Vậy xác suất của biến cố “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3” là \(1 - \frac{8}{{27}} = \frac{{19}}{{27}}\)

b) Gọi biến cố B: “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 4” là biến cố đối của biến cố “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc lớn hơn 4”

Tổng số kết quả của phép thử có thể xảy ra là \(n(\Omega ) = {6^3}\)

Ta có tập hợp kết quả thuận lợi cho biến cố B như sau: \(B = \left\{ {(1;1;1),(1;1;2)} \right\}\). Số kết quả thuận lợi cho B là: \(n(A) = 2\)

Xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{2}{{{6^3}}} = \frac{1}{{108}}\)

Vậy xác suất của biến cố “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc lớn hơn 4” là \(1 - \frac{1}{{108}} = \frac{{107}}{{108}}\)

Qua bài giảng trên giúp các em học sinh:

- Cách tính xác suất trong một số bài toán đơn giản bằng phương pháp tổ hợp.

- Cách tính xác suất trong một số bài toán đơn giản bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây.

- Nắm và vận dụng quy tắc tính xác suất của biến cố đối.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 10 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Gieo đồng tiền hai lần. Xác suất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần

  • A. \(\frac{1}{4}\) 
  • B. \(\frac{1}{2}\) 
  • C. \(\frac{3}{4}\) 
  • D. \(\frac{1}{3}\) 

• Câu 2:

  Gieo đồng tiền 5 lần cân đối và đồng chất. Cho biết xác suất để được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là:

  • A. \(\frac{{31}}{{32}}\) 
  • B. \(\frac{{21}}{{32}}\) 
  • C. \(\frac{{11}}{{32}}\) 
  • D. \(\frac{{1}}{{32}}\) 

• Câu 3:

  Gieo đồng tiền 5 lần cân đối và đồng chất. Cho biết xác suất để được ít nhất một đồng tiền xuất hiện mặt sấp là

  • A. \(\frac{{31}}{{32}}\) 
  • B. \(\frac{{21}}{{32}}\) 
  • C. \(\frac{{11}}{{32}}\) 
  • D. \(\frac{{1}}{{32}}\) 

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 10 Bài 2 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động khám phá 1 trang 81 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Thực hành 1 trang 82 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Vận dụng trang 83 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Thực hành 2 trang 83 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Hoạt động khám phá 2 trang 84 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Thực hành 3 trang 84 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Thực hành 4 trang 84 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Hoạt động khám phá 3 trang 84 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 1 trang 85 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 2 trang 85 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 3 trang 85 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 4 trang 85 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 5 trang 85 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 1 trang 100 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 2 trang 100 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 3 trang 100 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 4 trang 100 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 5 trang 100 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 6 trang 101 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 7 trang 101 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 8 trang 101 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 9 trang 101 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 10 trang 101 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!