Trong thí nghiệm Y-âng về giao thoa ánh sáng, khe \(S\) đồng thời phát ra ba bức xạ đơn sắc có bước sóng là \({\lambda _1} = 0,42\mu m;{\lambda _2} = 0,56\mu m\) và \({\lambda _3} = 0,63\mu m.\) Trên màn, trong khoảng giữa hai vân sáng liên tiếp có màu giống vân trung tâm, nếu vân sáng của hai bức xạ trùng nhau ta chỉ tính là một vân sáng, thì số vân sáng quan sát được sẽ là bao nhiêu?

Điều kiện vân trùng \(3\):

\(\begin{array}{l}{x_1} = {x_2} = {x_3}\\ \Leftrightarrow {k_1}{\lambda _1} = {k_2}{\lambda _2} = {k_3}{\lambda _3}\\ \Leftrightarrow {k_1}.0,42 = {k_2}.0,56 = {k_3}.0,63\\ \Leftrightarrow {k_1}.6 = {k_2}.8 = {k_3}.9\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{k_1} = 12\\{k_2} = 9\\{k_3} = 8\end{array} \right.\\ \Rightarrow {i_{trung}} = \dfrac{{{k_1}{\lambda _1}D}}{a} \\= \dfrac{{12.0,42.D}}{a} = 5,04\dfrac{D}{a}\end{array}\)

Vậy là trong khoảng \(2\) vân trùng gần nhất cùng màu vân trung tâm có: \(11\) vân sáng của \({\lambda _1}\);\(8\) vân sáng của \({\lambda _2}\);\(7\) vân sáng của \({\lambda _3}\)
+ Số vân trùng bức xạ \({\lambda _1};{\lambda _2}\):

\(\begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\ \Leftrightarrow {k_1}{\lambda _1} = {k_2}{\lambda _2}\\ \Rightarrow \dfrac{{{k_1}}}{{{k_2}}} = \dfrac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} = \dfrac{{0,56}}{{0,42}} = \dfrac{4}{3}\end{array}\)

Vậy có các cặp vân trùng bức xạ \({\lambda _1};{\lambda _2}\) trong khoảng hai vân cùng màu với vân trung tâm là \(\left\{ \begin{array}{l}{k_1} = 4\\{k_2} = 3\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}{k_1} = 8\\{k_2} = 6\end{array} \right.\)

+ Số vân trùng bức xạ \({\lambda _1};{\lambda _3}\):

\(\begin{array}{l}{x_1} = {x_3}\\ \Leftrightarrow {k_1}{\lambda _1} = {k_3}{\lambda _3} \\\Rightarrow \dfrac{{{k_1}}}{{{k_3}}} = \dfrac{{{\lambda _3}}}{{{\lambda _1}}} = \dfrac{{0,63}}{{0,42}} = \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Vậy có các cặp vân trùng bức xạ \({\lambda _1};{\lambda _3}\) trong khoảng hai vân cùng màu với vân trung tâm là \(\left\{ \begin{array}{l}{k_1} = 3\\{k_3} = 2\end{array} \right.\) ;\(\left\{ \begin{array}{l}{k_1} = 6\\{k_3} = 4\end{array} \right.\)và \(\left\{ \begin{array}{l}{k_1} = 9\\{k_3} = 6\end{array} \right.\)

+ Số vân trùng bức xạ \({\lambda _2};{\lambda _3}\):

\(\begin{array}{l}{x_2} = {x_3}\\ \Leftrightarrow {k_2}{\lambda _2} = {k_3}{\lambda _3} \\\Rightarrow \dfrac{{{k_2}}}{{{k_3}}} = \dfrac{{{\lambda _3}}}{{{\lambda _2}}} = \dfrac{{0,63}}{{0,56}} = \dfrac{9}{8}\end{array}\)

Vậy không có các cặp vân trùng bức xạ \({\lambda _1};{\lambda _3}\) trong khoảng hai vân cùng màu với vân trung tâm.

Vậy tổng số vân sáng quan sát được trong khoảng hai vân cùng màu với vân trung tâm là \(N = 11 + 8 + 7 - 2 - 3 = 21\)